Nullfolgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | Es ist anhand der Definition zu zeigen, dass folgende Folgen [mm] \{a_{n}\} [/mm] n=1 bis [mm] \infty [/mm] Nullfolgen sind, d.h. gegen 0 konvergieren.
a) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n^{3}+n^{2}+1}
[/mm]
b) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n^{2}+2}-\wurzel{n^{2}+1}
[/mm]
c) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{sin n+cos^{3} n}{\wurzel{n}} [/mm] |
Hallo,
ich wünsche allen erst einmal frohes neues Jahr!
Nun zu meiner Aufgabe:
reicht es hier wenn ich ein paar werte einsetzte und damit zeige, dass die folgen gegen null gehen??
Wenn nicht wie mache ich das dann richtig?
LG Toni
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Hallo Toni!
Das wird so nicht ausreichen. Ich denke, Du wirst es entweder mit dem [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] oder unter Verwendung der Grenzwertsätze zeigen müssen.
Zum Beispiel bei der 1. Aufgabe:
[mm] $$\bruch{n}{n^3+n^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n^3*\bruch{1}{n^2}}{n^3*\left(1+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{1}{n^2}}{1+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}} [/mm] \ [mm] \overset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} [/mm] \ [mm] \bruch{0}{1+0+0} [/mm] \ = \ 0$$
Bei der 2. Aufgabe zu einer 3. binomischen Formel erweitern.
Bei der 3. Aufgabe die Beschränktheit von [mm] $\sin(x)$ [/mm] bzw. [mm] $\cos(x)$ [/mm] nutzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Fr 04.01.2008 | | Autor: | patsch |
Auf die 3. binomische Formel bei Aufg. b komme ich ja noch, doch was soll man dann damit anstellen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Fr 04.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] \wurzel{n^{2}+2}-\wurzel{n^{2}+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{(\wurzel{n^{2}+2}-\wurzel{n^{2}+1})(\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1})}{(\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1})}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n²+2)-(n²+1)}{(\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1})}
[/mm]
[mm] =\bruch{n²+2-n²-1}{(\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1})}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{(\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1})}
[/mm]
Und nun lasse mal [mm] n\to\infty [/mm] laufen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Fr 04.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> [mm]\wurzel{n^{2}+2}-\wurzel{n^{2}+1}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(\wurzel{n^{2}+2}-\wurzel{n^{2}+1})(\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1})}{(\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1})}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(n²+2)-(n²+1)}{(\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1})}[/mm]
> [mm]=\bruch{n²+2-n²-1}{(\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1})}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{(\wurzel{n^{2}+2}+\wurzel{n^{2}+1})}[/mm]
>
> Und nun lasse mal [mm]n\to\infty[/mm] laufen.
Hallo Marius,
Klasse! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Fr 04.01.2008 | | Autor: | patsch |
Vielen Dank Marius
Also läuft der Nenner gegen unenendlich und somit konvergiert die Folge gegen 0?
LG patsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Fr 04.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Vielen Dank Marius
>
> Also läuft der Nenner gegen unenendlich und somit
> konvergiert die Folge gegen 0?
>
> LG patsch
So kann man das sagen, ja.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Toni908 |
Hallo,
Vielen Dank für deine Antwort!
eine Frage habe ich aber noch:
> Bei der 3. Aufgabe die Beschränktheit von [mm]\sin(x)[/mm] bzw.
> [mm]\cos(x)[/mm] nutzen.
beschränkt heist ja, dass die Folge nach oben und unten beschränkt ist.
die sinus und kosinus funktion haben die schranken [mm] y_{1}=1 [/mm] und [mm] y_{2}=-1. [/mm] obere und untere schranke.
die x werte gehen ja ins unendlich positiv und negativ.
wie hilft mir das jetzt weiter?
LG Toni
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Hallo Toni!
Du kannst doch z.B. wie folgt abschätzen:
[mm] $$\left| \bruch{\sin( n)+\cos^3 (n)}{\wurzel{n}}\right| [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{\left|\sin( n)\right|+\left|\cos^3 (n)\right|}{\wurzel{n}} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1+1^3}{\wurzel{n}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{n}}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Toni908 |
Vielen Dank an Roadrunner, M.Rex und luis52 für eure Antworten.
LG Toni
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