Nullfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 So 15.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Hey ihr
für eine Aufgabe soll ich beweisen, dass [mm] \wurzel{n+2} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] eine Nullfolge ist
mein Ansatz
es existiert ein N [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] N mit
| [mm] \wurzel{n+2} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] - 0 | = [mm] \wurzel{n+2} [/mm] - [mm] \wurzel{n} \le \wurzel{n+2} \le [/mm] n+2 [mm] \le [/mm] .... [mm] \le \epsilon
[/mm]
stimmt der Ansatz? und wie schätze ich weiter ab?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 So 15.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Hey ihr
> für eine Aufgabe soll ich beweisen, dass [mm]\wurzel{n+2}[/mm] -
> [mm]\wurzel{n}[/mm] eine Nullfolge ist
> mein Ansatz
> es existiert ein N [mm]\in \IN[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] N mit
> | [mm]\wurzel{n+2}[/mm] - [mm]\wurzel{n}[/mm] - 0 | = [mm]\wurzel{n+2}[/mm] -
> [mm]\wurzel{n} \le \wurzel{n+2} \le[/mm] n+2 [mm]\le[/mm] .... [mm]\le \epsilon[/mm]
>
> stimmt der Ansatz? und wie schätze ich weiter ab?
Tipps:
1. [mm] \sqrt{n+2}-\sqrt{n}=\sqrt{n+2}-\sqrt{n}*\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}=? [/mm]
2. Binomische Formel
Du musst nun ein [mm] N\in\IN [/mm] angeben, sodass für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ [mm] |a_n|<\epsilon [/mm] gilt.
DieAcht
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:55 So 15.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
und wie finde ich dies?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 So 15.12.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das ist leider zu grob abgeschätzt. Erweiter lieber mal mit [mm] \sqrt{n+2}+\sqrt{n}, [/mm] also [mm] $\left|\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right|=\left|\frac{(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}\right|=\ldots$
[/mm]
Das kannst du dann noch nach oben abschätzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 15.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
danke
dann erhalte ich:
[mm] \frac{2}{\wurzel{n+2}+\wurzel{n}} \le \frac{2}{wurzel{n}} \le \frac{2}{n} \le \frac{2}{N} \le \frac{2}{\frac{2}{\epsilon}} [/mm] = [mm] \epsilon
[/mm]
stimmts so?
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Hallo Alex,
> danke
> dann erhalte ich:
> [mm]\frac{2}{\wurzel{n+2}+\wurzel{n}} \le \frac{2}{wurzel{n}} \red{\le} \frac{2}{n} \le \frac{2}{N} \le \frac{2}{\frac{2}{\epsilon}}[/mm]
> = [mm]\epsilon[/mm]
> stimmts so?
Nein, die zweite Stufe der Abschätzung stimmt nicht - rechne mal nach.
Besser:
[mm] \bruch{2}{\wurzel{n+2}+\wurzel{n}}\le\bruch{2}{2\wurzel{n}}=\bruch{1}{\wurzel{n}}\le\bruch{1}{\wurzel{N}}\le\cdots
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 So 15.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
du hast recht
also dann:
[mm] \frac{1}{\wurzel{N}} \le \frac{1}{\wurzel{\frac{1}{\epsilon^2}}} [/mm] = [mm] \epsilon
[/mm]
jetzt aber oder?
liebe Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 So 15.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> du hast recht
> also dann:
> [mm]\frac{1}{\wurzel{N}} \le \frac{1}{\wurzel{\frac{1}{\epsilon^2}}}[/mm]
> = [mm]\epsilon[/mm]
> jetzt aber oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Zur Kontrolle: Wie wählst du dein [mm] N=N(\epsilon)\in\IN [/mm] ?
>
>
> liebe Grüße!
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
na N [mm] \ge \wurzel{\frac{1}{\epsilon^{2}}} [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Mo 16.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> na N [mm]\ge \wurzel{\frac{1}{\epsilon^{2}}}[/mm] oder?
Nein. Aus $ [mm] \frac{1}{\wurzel{N}} \le \frac{1}{\wurzel{\frac{1}{\epsilon^2}}} [/mm] $
wird
N [mm] \ge \frac{1}{\epsilon^{2}}
[/mm]
FRED
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