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| Aufgabe | Begründen Sie dass es sich hierbei um eine Nullfolge handelt
1. [mm] (n^2-100000)_{n\ge5}
[/mm]
2. [mm] (\bruch{1}{1000+n^3})_{n\ge-5} [/mm] |
Hi
Kann das so stimmen?
1. [mm] |\bruch{1}{1000+n^3}|<\varepsilon
[/mm]
[mm] =>\bruch{1}{1000+n^3}<\varepsilon
[/mm]
=> [mm] 1<\varepsilon(1000+n^3)
[/mm]
=> [mm] \bruch{1}{\varepsilon}-1000
=> [mm] \wurzel[3]{\bruch{1}{\varepsilon}-1000}
Wenn man annimmt, dass wir vorhaben Epsilion [mm] \varepsilon [/mm] minimalstklein zuschrauben dann ist [mm] \bruch{1}{{\varepsilon}-1000} [/mm] negativ. Daraus folgt dass [mm] \wurzel{\bruch{1}{\varepsilon}-1000} [/mm] einen Widerspruch erzeugt
2. [mm] (n^2-100000)_{n\ge5}
[/mm]
Muss hier mit Fallunterscheidung gearbeitet werden?
Grüße, B33r3
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Hallo
> Begründen Sie dass es sich hierbei um eine Nullfolge
> handelt
> 1. [mm](n^2-100000)_{n\ge5}[/mm]
> 2. [mm](\bruch{1}{1000+n^3})_{n\ge-5}[/mm]
> Hi
> Kann das so stimmen?
> 1. [mm]|\bruch{1}{1000+n^3}|<\varepsilon[/mm]
>
> [mm]=>\bruch{1}{1000+n^3}<\varepsilon[/mm]
> => [mm]1<\varepsilon(1000+n^3)[/mm]
> => [mm]\bruch{1}{\varepsilon}-1000
> => [mm]\wurzel[3]{\bruch{1}{\varepsilon}-1000}
>
> Wenn man annimmt, dass wir vorhaben Epsilion [mm]\varepsilon[/mm]
> minimalstklein zuschrauben dann ist
> [mm]\bruch{1}{{\varepsilon}-1000}[/mm] negativ. Daraus folgt dass
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{\varepsilon}-1000}[/mm] einen Widerspruch
> erzeugt
Naja, das ist so nicht richtig. Die Folge ist tatsächlich eine Nullfolge, was du über Induktion zeigen kannst (auch wenn es hier offensichtlich ist..).
Es ist ja nicht zu zeigen, dass ein Glied kleiner als ein beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ist, sondern dass die Folge gegen den Grenzwert 0 konvergiert.
>
> 2. [mm](n^2-100000)_{n\ge5}[/mm]
> Muss hier mit Fallunterscheidung gearbeitet werden?
Warum Fallunterscheidung? Was würdest du denn unterscheiden wollen?
>
> Grüße, B33r3
>
Grüsse, Amaro
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> Hallo
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> > Begründen Sie dass es sich hierbei um eine Nullfolge
> > handelt
> > 1. [mm](n^2-100000)_{n\ge5}[/mm]
> > 2. [mm](\bruch{1}{1000+n^3})_{n\ge-5}[/mm]
> > Hi
> > Kann das so stimmen?
> > 1. [mm]|\bruch{1}{1000+n^3}|<\varepsilon[/mm]
> >
> > [mm]=>\bruch{1}{1000+n^3}<\varepsilon[/mm]
> > => [mm]1<\varepsilon(1000+n^3)[/mm]
> > => [mm]\bruch{1}{\varepsilon}-1000
> > => [mm]\wurzel[3]{\bruch{1}{\varepsilon}-1000}
> >
> > Wenn man annimmt, dass wir vorhaben Epsilion [mm]\varepsilon[/mm]
> > minimalstklein zuschrauben dann ist
> > [mm]\bruch{1}{{\varepsilon}-1000}[/mm] negativ. Daraus folgt dass
> > [mm]\wurzel{\bruch{1}{\varepsilon}-1000}[/mm] einen Widerspruch
> > erzeugt
>
> Naja, das ist so nicht richtig. Die Folge ist tatsächlich
> eine Nullfolge, was du über Induktion zeigen kannst (auch
> wenn es hier offensichtlich ist..).
> Es ist ja nicht zu zeigen, dass ein Glied kleiner als ein
> beliebiges [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ist, sondern dass die Folge
> gegen den Grenzwert 0 konvergiert.
Wir sollen keine Induktion anwenden, also wie soll man es sonst zeigen?
Ich hab ähnlich Vorgehensweisen auf anderen Seiten gesehn, die durch ähnliche Widersprüche die Nullfolge so bewiesen haben.
> >
> > 2. [mm](n^2-100000)_{n\ge5}[/mm]
> > Muss hier mit Fallunterscheidung gearbeitet werden?
>
> Warum Fallunterscheidung? Was würdest du denn
> unterscheiden wollen?
Weil mir nichts anders sinniges einfiel, ich würde unterscheiden wollen, für welches n der Inhalt des Betrages negativ wird, um das Zeichen der Ungleichung umzudrehen,..
> >
> > Grüße, B33r3
> >
>
> Grüsse, Amaro
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Hallo Blaubeere,
zitiere doch bitte mit etwas mehr Bedacht, das, was du nicht brauchst, kannst du weglöschen.
Das erhöht sie Lesbarkeit immens!
> Wir sollen keine Induktion anwenden, also wie soll man es
> sonst zeigen?
> Ich hab ähnlich Vorgehensweisen auf anderen Seiten
> gesehn, die durch ähnliche Widersprüche die Nullfolge so
> bewiesen haben.
Nun, dann wende die Grenzwertdefinition an.
Gib zu beliebig vorgegebenem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] an, so dass für alle [mm] $n\ge n_0$ [/mm] gilt: [mm] $\left|\frac{1}{1000+n^3}-0\right|<\varepsilon$
[/mm]
Dazu schätze in einer Nebenrechnung den ollen Betrag ab:
[mm] $\left|\frac{1}{1000+n^3}-0\right|=\frac{1}{1000+n^3} [/mm] \ < \ [mm] \frac{1}{n^3}$ [/mm] (wenn du den Nenner verkleinerst, vergrößert sich der Bruch)
Und [mm] $\frac{1}{n^3}\overset{!}{<}\varepsilon$
[/mm]
Also [mm] $n^3>\frac{1}{\varepsilon}$ [/mm] damit [mm] $n>\frac{1}{\sqrt[3]{\varepsilon}}$
[/mm]
Wie kannst du nun dein [mm] $n_0$ [/mm] wählen, so dass die obige Aussage gilt?
> > > 2. [mm](n^2-100000)_{n\ge5}[/mm]
Ich sehe nicht, wieso das eine Nullfolge sein sollte, das [mm] $n^2$ [/mm] wächst doch über alle Schranken, da ist doch für riesige $n$ das $-100000$ popelig klein ...
> > > Muss hier mit Fallunterscheidung gearbeitet werden?
> >
> > Warum Fallunterscheidung? Was würdest du denn
> > unterscheiden wollen?
>
> Weil mir nichts anders sinniges einfiel, ich würde
> unterscheiden wollen, für welches n der Inhalt des
> Betrages negativ wird, um das Zeichen der Ungleichung
> umzudrehen,..
> > > Grüße, B33r3
LG
schachuzipus
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> Nun, dann wende die Grenzwertdefinition an.
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> Gib zu beliebig vorgegebenem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]n_0\in\IN[/mm]
> an, so dass für alle [mm]n\ge n_0[/mm] gilt:
> [mm]\left|\frac{1}{1000+n^3}-0\right|<\varepsilon[/mm]
>
> Dazu schätze in einer Nebenrechnung den ollen Betrag ab:
>
> [mm]\left|\frac{1}{1000+n^3}-0\right|=\frac{1}{1000+n^3} \ < \ \frac{1}{n^3}[/mm]
> (wenn du den Nenner verkleinerst, vergrößert sich der
> Bruch)
>
> Und [mm]\frac{1}{n^3}\overset{!}{<}\varepsilon[/mm]
>
> Also [mm]n^3>\frac{1}{\varepsilon}[/mm] damit
> [mm]n>\frac{1}{\sqrt[3]{\varepsilon}}[/mm]
>
> Wie kannst du nun dein [mm]n_0[/mm] wählen, so dass die obige
> Aussage gilt?
Hi
Um sofort herauszufinden ab welchen Folgenglied n man sich innerhalb unserer [mm] \varepsilon-Schranke [/mm] befinde(bzw direkt drauf), könnte ich nun mit Hilfe von der Aussage
[mm] n>\frac{1}{\sqrt[3]{\varepsilon}}
[/mm]
eine Funktionsvorschrift definieren:
[mm] n_{0}=f(\varepsilon)=\frac{1}{\sqrt[3]{\varepsilon}}
[/mm]
Von der Logik her müssten wir noch zeigen, dass umso kleiner der Abstand der [mm] \varepsilon-Schranke [/mm] zum Grenzwert wird, umso mehr Glieder außerhalb der Schranke liegen.
Also probieren wir es aus:
[mm] \varepsilon=\bruch{1}{10}, f(\bruch{1}{10})=2,1544=n_{0}
[/mm]
Das bedeutet 2 Glieder, der Zahlenfolge, liegen außerhalb der Schranke
n>2,1544 Ab dem 3ten Glied liegen diese innerhalb der [mm] 1/10-\varepsilon-Schranke
[/mm]
[mm] \varepsilon=\bruch{1}{100}, f(\bruch{1}{100})=4,641=n_{0}
[/mm]
Ab dem 5. Glied liegen Sie innerhalb der Schranken(4 liegen draußen.
[mm] \varepsilon=\bruch{1}{1000}, f(\bruch{1}{1000})=10=n_{0}
[/mm]
10 Glieder liegen außerhalb und ab dem 11. Glied liegen sie wieder innerhalb der Schranke
Ist das nun so richtig, und der Beweis für die Nullfolge?
Grüße!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 22.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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