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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Do 19.10.2006 | | Autor: | citaro |
| Aufgabe | a) Zeige, dass [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n² + 1} [/mm] eine Nullfolge ist
b) Schätze [mm] n_{\varepsilon} [/mm] ab, wenn [mm] \varepsilon [/mm] = 0,000001 ist |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hmm, ich habe folgenden Lösungsansatz und bin am Überlegen ob dieser richtig ist. Allerdings komme ich nicht weiter. Vielleicht kann mir jemand helfen:
Zu a): [mm] \bruch{n}{n² + 1} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] umformen in:
[mm] \bruch{n² + 1}{n} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\varepsilon}
[/mm]
n + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\varepsilon}
[/mm]
Ja, und nun??? Woher weiss ich nun, dass das ganze eine Nullfolge ist?
zu b) würde sagen, dass [mm] n_{\varepsilon} [/mm] = 1.000.000, da [mm] \bruch{1}{n_{\varepsilon} } [/mm] = 0,000001 ist.
Danke für jede Hilfe!
Oliver
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Hi, citaro,
> a) Zeige, dass [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n}{n² + 1}[/mm] eine Nullfolge
> ist
> b) Schätze [mm]n_{\varepsilon}[/mm] ab, wenn [mm]\varepsilon[/mm] = 0,000001
> ist
> Hmm, ich habe folgenden Lösungsansatz und bin am Überlegen
> ob dieser richtig ist. Allerdings komme ich nicht weiter.
> Vielleicht kann mir jemand helfen:
>
> Zu a): [mm]\bruch{n}{n² + 1}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] umformen in:
> [mm]\bruch{n² + 1}{n}[/mm] > [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
> n + [mm]\bruch{1}{n}[/mm] > [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
Du musst ja nach n auflösen!
Zunächst mal wirst Du bemerken, dass die Ungleichung für [mm] \epsilon [/mm] > 0,5 immer erfüllt ist, d.h. wir können uns auf [mm] \epsilon \le [/mm] 0,5 beschränken.
Dein Ansatz führt nach entsprechender Umformung auf die quadratische Ungleichung
[mm] n^{2} -\bruch{1}{\epsilon}*n [/mm] + 1 > 0
Und daraus erhält man letztlich: n > [mm] \bruch{1}{2*\epsilon}*(1 [/mm] + [mm] \wurzel{1-4\epsilon ^{2}})
[/mm]
D.h. man findet zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ein n, sodass die Ungleichung erfüllt ist.
> zu b) würde sagen, dass [mm]n_{\varepsilon}[/mm] = 1.000.000, da
> [mm]\bruch{1}{n_{\varepsilon} }[/mm] = 0,000001 ist.
Hier können wir das Ergebnis von a) gleich mal ausprobieren:
[mm] \epsilon [/mm] = 0,000001;
daher n > [mm] \bruch{1}{2*0,000001}*(1 [/mm] + [mm] \wurzel{1-4*(0,000001) ^{2}}) \approx [/mm] 1000000.
Das Ergebnis ist also richtig!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Do 19.10.2006 | | Autor: | citaro |
Hallo Zwerglein,
vielen Dank für die schnelle Antwort - da hast du mir schon sehr geholfen. Was ich allerdings nicht ganz verstehe:
Wie kommst du von der Ungleichung [mm] n^{2} -\bruch{1}{\epsilon}\cdot{}n [/mm] + 1 > 0 auf das Ergebnis n > [mm] \bruch{1}{2\cdot{}\epsilon}\cdot{}(1 [/mm] + [mm] \wurzel{1-4\epsilon ^{2}})
[/mm]
oder muss ich hier meine kenntnisse im lösen von quadratischen ungleichungen auffrischen? habe da nämlich keine Idee für einen Ansatz und eben unter google nur möglichkeiten zur Umformung auf Produkt gefunden. und das muss doch einfacher gehen, oder?
Danke und Gruß,
Oliver
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Hi, citaro,
> Wie kommst du von der Ungleichung [mm]n^{2} -\bruch{1}{\epsilon}\cdot{}n[/mm] + 1 > 0 auf das Ergebnis n > [mm]\bruch{1}{2\cdot{}\epsilon}\cdot{}(1[/mm] + [mm]\wurzel{1-4\epsilon ^{2}})[/mm]
Du löst erst mal die quadratische GLEICHUNG
[mm] n^{2} -\bruch{1}{\epsilon}\cdot{}n [/mm] + 1 = 0
Die Lösungen sind - anschaulich betrachtet - die Nullstellen der Parabel mit der Gleichung [mm] y=x^{2} -\bruch{1}{\epsilon}\cdot{}x [/mm] + 1
Diese Parabel ist nach oben geöffnet und daher liegen die beiden Teile rechts von der rechten und links von der linken Nullstelle oberhalb der x-Achse. Uns interessiert wegen n > 0 nur der rechte Ast.
Alles klar?
mfG!
Zwerglein
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