Nullfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Di 19.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Seien [mm] (a_n)_{n \in \IN}, (b_n)_{n \in \IN} [/mm] 2 reelle Folgen mit [mm] a_n [/mm] >0, [mm] b_n [/mm] >0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = a, [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n [/mm] = 0.
Zeige, wenn ein r [mm] \in [/mm] (0, 1) existiert, sodass [mm] a_{n+1} \le r*a_{n}+b_{n} \forall [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] so ist [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] eine Nullfolge. |
Hallo,
also prinzipiell muss ich ja zeigen, dass [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists n_{\varepsilon} \in \IN, [/mm] sodass [mm] |a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n [mm] \ge n_{\varepsilon}.
[/mm]
Bisher weiß ich, dass [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists N_{\varepsilon} \in \IN, [/mm] sodass [mm] |a_n [/mm] -a| < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n [mm] \ge N_{\varepsilon} [/mm] und analog: [mm] \forall\varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists M_{\varepsilon} \in \IN, [/mm] sodass [mm] |b_n| [/mm] < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n [mm] \ge M_{\varepsilon}. [/mm] Doch leider weiß ich nun absolut nicht, wie ich die Ungleichung [mm] a_{n+1} \le r*a_{n}+b_{n} [/mm] zum Beweis , dass [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] eine Nullfolge ist, einbringen soll...
Wäre euch für jeden Ansatz dankbar, der mir weiterhilft.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Di 19.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm](a_n)_{n \in \IN}, (b_n)_{n \in \IN}[/mm] 2 reelle Folgen
> mit [mm]a_n[/mm] >0, [mm]b_n[/mm] >0 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] = a,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_n[/mm] = 0.
> Zeige, wenn ein r [mm]\in[/mm] (0, 1) existiert, sodass [mm]a_{n+1} \le r*a_{n}+b_{n} \forall[/mm]
> n [mm]\in \IN,[/mm] so ist [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Nullfolge.
> Hallo,
>
> also prinzipiell muss ich ja zeigen, dass [mm]\forall \varepsilon[/mm]
> >0 [mm]\exists n_{\varepsilon} \in \IN,[/mm] sodass [mm]|a_n|[/mm] <
> [mm]\varepsilon \forall[/mm] n [mm]\ge n_{\varepsilon}.[/mm]
>
> Bisher weiß ich, dass [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists N_{\varepsilon} \in \IN,[/mm]
> sodass [mm]|a_n[/mm] -a| < [mm]\varepsilon \forall[/mm] n [mm]\ge N_{\varepsilon}[/mm]
> und analog: [mm]\forall\varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists M_{\varepsilon} \in \IN,[/mm]
> sodass [mm]|b_n|[/mm] < [mm]\varepsilon \forall[/mm] n [mm]\ge M_{\varepsilon}.[/mm]
> Doch leider weiß ich nun absolut nicht, wie ich die
> Ungleichung [mm]a_{n+1} \le r*a_{n}+b_{n}[/mm] zum Beweis , dass
> [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Nullfolge ist, einbringen soll...
> Wäre euch für jeden Ansatz dankbar, der mir
> weiterhilft.
ich würde mal ganz einfach anfangen: Zu zeigen ist [mm] $a=0\,.$
[/mm]
Nun:
Aus [mm] $a_n \to [/mm] a$ folgt auch [mm] $a_{n+1} \to [/mm] a$. Ferner auch
$0 [mm] \le \lim_{n \to \infty}a_{n+1} \le \lim_{n \to \infty}(r*a_n+b_n)\,,$
[/mm]
so dass folgt
$0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] r*a$ (Warum?)
und damit
$0 [mm] \le \underbrace{(1-r)}_{> 0}*a \le 0\,.$
[/mm]
[Alternativ: Nimm' bei
$0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] r*a$
mal an, dass $a > 0$ wäre. Du hast dann die Ungleichung
$a [mm] \le r*a\,,$
[/mm]
welche Du durch $a > [mm] 0\,$ [/mm] teilen kannst. Dann folgt etwas für [mm] $r\,,$ [/mm] was der
Voraussetzung an r aber widerspricht!]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Di 19.05.2015 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank, da hab ich wohl wieder mal viel zu kompliziert gedacht. Letztlich wars ja "nur" ein Betrachten der Grenzwertsätze und Ausnutzen, dass die Folgenglieder positive reelle Zahlen sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Di 19.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank, da hab ich wohl wieder mal viel zu kompliziert
> gedacht. Letztlich wars ja "nur" ein Betrachten der
> Grenzwertsätze und Ausnutzen, dass die Folgenglieder
> positive reelle Zahlen sind.
genau, ich fasse es mal zusammen:
Weil ('fast alle' würde auch reichen) alle [mm] $a_n [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] ist $a [mm] \red{\,\ge\,}0$.
[/mm]
Die Ungleichung
$a [mm] \le [/mm] r*a$
folgte aus drei Gründen:
1. Wenn [mm] $(x_n)_n$ [/mm] und [mm] $(y_n)_n$ [/mm] gegen x bzw. y konvergieren und es gilt
[mm] $x_n \le y_n$ [/mm] für (fast) alle [mm] $n\,,$
[/mm]
(oder < statt [mm] $\le$)
[/mm]
dann gilt $x [mm] \le y\,.$ [/mm] (Hier darf man aber nicht den Fehler machen, dass man <
schreibt. Beispiel: $0<1/n$ für alle [mm] $n\,,$ [/mm] aber [mm] $\lim_{n \to \infty}(1/n)=0$.)
[/mm]
2. [mm] $\lim_{n \to \infty}(r*a_n+b_n)=r*(\lim_{n \to \infty}a_n)+\lim_{n \to \infty}b_n=r*a+b=r*a+0=r*a$, [/mm] weil [mm] $b=0\,.$
[/mm]
3. [mm] $\lim_{n \to \infty}a_{n+1}=\lim_{n \to \infty}a_{n}=a\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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