Nullen am Ende einer Zahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 So 12.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Wie viele Nullen hat die Zahl 905! am Ende? |
Hallo,
so recht weiß ich nicht, wie diese Aufgabe lösen soll. Gibt es da ein Verfahren, wie man so etwas schnellstmöglich lösen kann?
Danke und Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 So 12.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
du musst dir überlegen, wie eine Null am Ende überhaupt zustande kommen kann.
Dann überlegst du dir weiter, bei welchen Faktoren von 905! jeweils wieviele Nullen hinzukommen.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 So 12.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
eine Null kann entstehen, wenn ich irgendetwas aufsummiere, dass mindestens 10 ergibt.
Also:
[mm] 5+5=10=10^1
[/mm]
[mm] 50+50=100=10^2
[/mm]
[mm] 500+500=1000=10^3
[/mm]
[mm] 5000+5000=10000=10^4 [/mm] usw.
Jetzt ist die Frage, ob 905! überhaupt eine Zehnerpotenz ergibt.
Ich habe mir mal, 5! 15! 25!und 35! ausrechnen lassen.
Dann erhalte ich für 5! = 1 Null, 15!=3 Nullen , 25!=12 Nullen, 35!=26 Nullen
Kann man das hierüber nicht irgendwie ableiten?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 So 12.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
bei der Fakultät summierst du doch nicht, sondern du multiplizierst.
Also leider ... noch mal von vorn
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 So 12.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
[mm] 5*2=10=10^1
[/mm]
[mm] 50*2=100=10^2
[/mm]
[mm] 500*2=1000=10^3
[/mm]
usw.
Jetzt kommen ja meine Erkenntnisse von vorher?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 So 12.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Wie oft kommt 10 als Faktor in 905! vor ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 So 12.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Dazu muss ich doch erstmal wissen, wie 905! überhaupt aussieht, oder?
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Hallo Bodo,
so begriffsstutzig heute?
> Dazu muss ich doch erstmal wissen, wie 905! überhaupt
> aussieht, oder?
Nur zum Teil. Wie oft kommt der Faktor 10 darin vor? Das musst Du beantworten.
Da die 10 zerlegbar ist (10=2*5  ), kommt die 10 als Faktor in 905! genauso oft vor, wie das niedrigste Vorkommen von 2 oder 5.
Da sehr leicht zu ermitteln ist, dass innerhalb von 10 Faktoren mindestens fünfmal die 2 und höchstens zweimal die 5 vorkommt, wird es genügen, wenn du mal herausfindest, wie oft die 5 denn in 905! enthalten ist.
Ein Tipp: die Antwort lautet nicht [mm] \tfrac{905}{5}. [/mm] Da hättest Du z.B. noch nicht berücksichtigt, dass [mm] 475=5^2*19 [/mm] ist.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 So 12.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hi,
also
10=2*5 hier kommt die 2 oder die 5 einmal vor
100=2*5*10=2*5*2*5, hier kommt die 2 oder die 5 zweimal vor
die Anzahl der Nullen beschreiben also die mindeste Anzahl der 2 oder der 5.
905=900+5=2*450+5=2*2*225+5=2*2*15*15+5=2*2*3*5*3*5+5
aber ich glaube so kann man das nicht machen...
Ich weiß aber die Lösung der Aufgabe: Es sind 225 Nullen...
Ich steh auf dem Schlauch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 So 12.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
wie du ja inzwischen weißt, liefert jeder Faktor, der ein Vielfaches von 5 ist, eine Null am Ende,
jeder Faktor der sogar ein Vielfaches von 25 ist, nochmal eine Null,
jeder Faktor, der sogar ein Vielfaches von 125 ist, nochmal eine Null,
usw.
Die kann man doch leicht abzählen.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 So 12.12.2010 | | Autor: | reverend |
...und da Du die Lösung ja schon weißt, hilft Dir diese Addition vielleicht auch noch:
225=1+7+36+181
Oder vielleicht besser von rechts nach links zu lesen. Ist ja kommutativ.
lg
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 12.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Jetzt habe ich das Schema mal weitergeführt:
5 -> 1 Null
5*5 -> 2 Nullen
5*5*5 -> 3 Nullen
5*5*5*5 -> 4 Nullen
5*5*5*5*5->5 Nullen
Jetzt benötige ich aber von 905 Fakultät die Anzahl der 5. Ich weiß nicht wie ich die davon ausrechnen soll... bzw. abzählen soll...
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Hallo Bodo,
das hat Sax doch glockenklar aufgeschrieben.
Für jeden durch 5 teilbaren Faktor in 905! bekommst Du eine Null, also [mm] \tfrac{905}{5}=181 [/mm] Nullen.
Für jeden durch 25 teilbaren Faktor bekommst Du eine weitere Null, also [mm] \left\lfloor\tfrac{905}{25}\right\rfloor=36 [/mm] Nullen.
...
Dass Du den Rest ausrechnen kannst, denke ich. Die Frage ist eher, ob Du es auch verstanden hast.
Nimm doch mal ein kleineres und leichteres Beispiel, wo man alle Faktoren noch bequem hinschreiben kann, z.B. 37!. Wie oft kommt der Faktor 2 darin vor? Das geht im Prinzip genauso wie in Deiner Aufgabe.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 So 12.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
Also die 2 kann ich ja zerlegen:
2=1*2
Muss ich jetzt wieder vielfache betrachten von 2?
Also 37/2=18 , 37/4=9, 37/16=2, 37/8=4 , 37/32=1
Also insgesamt: 18+9+2+4+1 zweien?
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Ja, genau!
34mal kommt der Faktor 2 in 37! vor.
Beim Aufschreiben solltest Du die Gaußklammer verwenden, sonst stimmen die Gleichheitszeichen ja nicht.
Aber ansonsten: richtig.
lg
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 So 12.12.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Aber eines verstehe ich nicht. Wir haben jetzt mit der 5 gemacht. Aber wenn ich das ganze mit der 2 mache und mir Vielfache von 2 anschaue, dann komm ich doch auf eine viel größere Anzahl von Nullen?!?! (Hier 225 Nullen)
Grüße
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Hallo nochmal,
> Aber eines verstehe ich nicht. Wir haben jetzt mit der 5
> gemacht. Aber wenn ich das ganze mit der 2 mache und mir
> Vielfache von 2 anschaue, dann komm ich doch auf eine viel
> größere Anzahl von Nullen?!?! (Hier 225 Nullen)
Eine 5 macht noch keine Null. Eine 2 allein auch nicht. Man braucht halt von beiden jeweils eine, die dann multipliziert 10 ergeben.
Deswegen war es ja auch nur nötig, die Zahl der Fünfen zu ermitteln, weil es von denen eben viel weniger gibt. Dass dann noch Zweien "überschießen", ist für die Bestimmung der Nullen unerheblich.
Der Faktor 2 kommt in 905! übrigens genau 900mal vor!
Grüße
reverend
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