Nulldivision - Logarithmus < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Meine Freunde Werner und Oskar hatten neulich einen Streit. Es ging dabei um die Division durch NULL bzw. um das Integral von EINS durch X.
Werner:
Von EINS durch X kann man kein Integral bilden.
Weil: EINS durch X ist ja X hoch Minus EINS.
Das Integral davon wäre dann X hoch NULL dividiert durch NULL.
Und durch NULL darf man nicht dividieren. Also gibt es kein Integral von EINS durch X.
Oskar:
Das Integral von EINS durch X ist der Natürliche Logarithmus von X.
Werner:
Was du da behauptest, ist ganz schön frech.
Nicht umsonst sagt man: Frech wie Oskar.
Aber nun gut. Mal angenommen, das Integral von EINS durch X ist wirklich der Natürliche Logarithmus von X.
Dann müsste ja die Ableitung vom Natürlichen Logarithmus von X auch EINS durch X sein.
Und nun mal angenommen, du hättest Recht (was ich ja nicht glaube) ....
Also: der Natürliche Logarithmus von e hoch X ist X.
Und die Ableitung von X ist EINS. Dann müsste ....
Oskar:
Na, weiter... !
Also: Nach der Kettenregel ist dann die Ableitung des Natürlichen Logarithmus von e hoch X => die Ableitung von e hoch X (= e hoch X) mal EINS durch e hoch X.
Und das ist EINS...
Werner:
Hääääääähhhhh ???
Oskar:
Höhö das ist also der Beweis, dass das Integral von EINS durch X ist der Natürliche Logarithmus von X ist.
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Ich hasse ja bekanntlich Beweise. Daher kann ich auch nicht beurteilen, ob Oskar mal wieder Werner einen Bären aufgebunden hat. Oder ob obiges wirklich als Beweis gilt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Fr 24.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Geschichte ganz kurz:
Es ist
[mm] $e^{lnx} [/mm] = x$ für jedes x> 0
Die kettenregel liefert
[mm] $e^{lnx}(lnx)' [/mm] = 1$ für jedes x> 0
Somit
$x(lnx)' = 1$ für jedes x> 0.
Daher
$(lnx)' = 1/x$ für jedes x> 0.
FRED
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