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(Not)-Umkehrfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 So 22.06.2008
Autor: tedd

Aufgabe
Untersuchen Sie folgende Funktion auf Umkehrbarkeit (d.h. bestimmen Sie jeweikls den Definitions- und Wertebereich dieser Funktion sowie die Umkehrfunktion bzw eine Not-Umkehrfunktion mit Definitions- und Wertebereich:
[mm] f(x)=\sqrt{x^2+x+2} [/mm]

für den Definitionsbereich habe ich geschaut wann der Term unter der WUrzel null wird mit der p/q-Formel:
[mm] p\to1 [/mm]
[mm] q\to2 [/mm]

[mm] x_1_/_2=-\bruch{1}{2}\pm\sqrt{\bruch{1}{2}-2} [/mm]
keine NST
[mm] \Rightarrow [/mm] Wurzelist immer positiv
[mm] \Rightarrow D_f=\IR [/mm]
Beim Werteberiech bin ich mir noch nicht sicher, aber der müsste
[mm] W_f=\{x | x\ge\sqrt{2} \} [/mm] sein.

Für die Umkehrfunktion:
[mm] y=\sqrt{x^2+x+2} [/mm]
[mm] y^2=x^2+x+2 [/mm]

Jetzt wollte ich eigentlich das [mm] y^2 [/mm] rüberholen und dann irgendwie wieder die p/q-Formel anwenden aber irgendwie komm ich so nicht weiter weil ich dann ja
[mm] 0=\bruch{x^2+x+2}{y^2} [/mm] da stehen habe und darauf kann ich die ja nicht anwenden ?!
Bin wie immer für jede Hilfe dankbar ;)
Besten Gruß,
tedd
        
Bezug
(Not)-Umkehrfunktion: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 So 22.06.2008
Autor: Loddar

Hallo tedd!



> [mm]x_1_/_2=-\bruch{1}{2}\pm\sqrt{\bruch{1}{2}-2}[/mm]
> keine NST
> [mm]\Rightarrow[/mm] Wurzelist immer positiv
> [mm]\Rightarrow D_f=\IR[/mm]

[ok]


> Beim Werteberiech bin ich mir noch nicht sicher, aber der müsste
> [mm]W_f=\{x | x\ge\sqrt{2} \}[/mm] sein.

[notok] Wie lautet denn der y-Wert des Scheitelpunktes der Parabel: $p(x) \ = \ [mm] x^2+x+2$ [/mm] ?

  
> Jetzt wollte ich eigentlich das [mm]y^2[/mm] rüberholen und dann
> irgendwie wieder die p/q-Formel anwenden aber irgendwie
> komm ich so nicht weiter weil ich dann ja
> [mm]0=\bruch{x^2+x+2}{y^2}[/mm] da stehen habe

[notok] Rechne auf beiden Seiten der Gleichung $- \ [mm] y^2$ [/mm] .


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
(Not)-Umkehrfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 So 22.06.2008
Autor: tedd

Hallo Loddar, danke für die Korrektur! :)

Also für den Scheitelpunkt gilt [mm] (-0.5/\sqrt{1\bruch{3}{4}}) [/mm]
Dann gilt für den Wertebereich wohl
[mm] W_f=\{x | x\ge \sqrt{1\bruch{3}{4}} \} [/mm]

Wegen p/q-Formel:
[mm] y^2=x^2+x+2 [/mm]
[mm] 0=x^2+x+2-y^2 [/mm]
Kann ichs dann so machen?
p [mm] \to [/mm] 1
q [mm] \to 2-y^2 [/mm]
?
[mm] x_1_/_2=-\bruch{1}{4}\pm\sqrt{\bruch{1}{4}-2+y^2} [/mm]
Dann schneide ich einen Bereich weg und erhalte
[mm] f^-^1(x)=-\bruch{1}{4}+\sqrt{\bruch{1}{4}-2+x^2} [/mm]
mit [mm] D_f^-^1=\{x | x\ge \sqrt{1\bruch{3}{4}} \} [/mm]
und [mm] W_f^-^1=\{x | x\ge 0 \} [/mm]

Hoffe das ist richtig und nicht voll daneben :/
Bezug
                        
Bezug
(Not)-Umkehrfunktion: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:23 So 22.06.2008
Autor: Loddar

Hallo tedd!


> Also für den Scheitelpunkt gilt [mm](-0.5/\sqrt{1\bruch{3}{4}})[/mm]

[ok]


> Dann gilt für den Wertebereich wohl [mm]W_f=\{x | x\ge \sqrt{1\bruch{3}{4}} \}[/mm]

[notok] Der Zahlenwert ist  [ok] , aber da gehört kein $x_$ hin!

  

> Kann ichs dann so machen?
> p [mm]\to[/mm] 1
> q [mm]\to 2-y^2[/mm]  ?

[ok]


> [mm]x_1_/_2=-\bruch{1}{4}\pm\sqrt{\bruch{1}{4}-2+y^2}[/mm]

[notok] Wie kommst Du auf das [mm] $\bruch{1}{\red{4}}$ [/mm] vor der Wurzel?


> Dann schneide ich einen Bereich weg und erhalte
> [mm]f^-^1(x)=-\bruch{1}{4}+\sqrt{\bruch{1}{4}-2+x^2}[/mm]
> mit [mm]D_f^-^1=\{x | x\ge \sqrt{1\bruch{3}{4}} \}[/mm]

[ok]


> und  [mm]W_f^-^1=\{x | x\ge 0 \}[/mm]

[notok] Wie kommst Du auf die Null? Und auch hier hat $x_$ nichts verloren!


Gruß
Loddar

Bezug
                                
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(Not)-Umkehrfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:34 So 22.06.2008
Autor: tedd

>> Dann gilt für den Wertebereich wohl [mm]W_f=\{x | x\ge \sqrt{1\bruch{3}{4}} \}[/mm]

> [notok] Der Zahlenwert ist  [ok] , aber da gehört kein $x_$ hin!

Stimmt, den Wertebereich betreffen ja die y-Werte oder?
Also heissts richtig:
[mm] W_f=\{y | y\ge \sqrt{1\bruch{3}{4}} \} [/mm] ?


>> [mm]x_1_/_2=-\bruch{1}{4}\pm\sqrt{\bruch{1}{4}-2+y^2}[/mm]

>[notok] Wie kommst Du auf das [mm] $\bruch{1}{\red{4}}$ [/mm] vor der Wurzel?

Stimmt, das war ein flüchtigkeitsfehler... Es muss natürlich heissen:
[mm] x_1_/_2=-\bruch{1}{2}\pm\sqrt{\bruch{1}{4}-2+y^2} [/mm]

>> und  [mm]W_f^-^1=\{x | x\ge 0 \}[/mm]

>[notok] Wie kommst Du auf die Null? Und auch hier hat $x_$ nichts verloren!

Ohja - hier muss es dann heissen:
[mm] W_f^-^1=\{y | y\ge -\bruch{1}{2} \} [/mm]
da der Bereich ab dem Scheitelpunkt weggeschnitten wird und den Wertebereich die y-Werte betreffen wie oben.
Hoffe so ists nun richtig.
Super vielen dank für die Hilfe Loddar ;) [ok]
Bezug
                                        
Bezug
(Not)-Umkehrfunktion: nun richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:15 Mo 23.06.2008
Autor: Loddar

Hallo tedd!


Nun stimmt alles ... [ok]


Gruß
Loddar


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