Normiertheit und Primitivität < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | Prüfe die Polynome auf Normiertheit und Primitivität:
1. [mm] f_{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (2^i -1)*X^{n-i}, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1
2. [mm] g_{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (2^i -1)*X^{i}, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 |
Hallo,
mir wurde gesagt, dass man bei dieser Aufgabe Fallunterscheidungen zwischen verschiedenen Ringen durchführen muss. Nur wird mir das noch nicht ganz klar.
Hier einmal man Ansatz:
Bei [mm] f_{n} [/mm] ist für i=1 der Exponent am X am größten, folglich erhält man bei allen [mm] f_{n} [/mm] für i=1 den Leitterm. Dort ist für i=1 immer [mm] (2^1 [/mm] -1) = 1, also ist das Polynom normiert. Wenn ich die Definition der Normiertheit richtig verstanden habe, dann ist das Polynom mit LC(f)=1 in jedem Ring normiert. Außerdem habe ich einen Satz in meinem Skript stehen, der besagt, dass jedes normierte Polynom auch primitiv ist (weil ja dann der ggT immer 1 ist).
Bei [mm] g_{n} [/mm] ist für i=n der Exponent am X am größten, folglich erhält man bei allen [mm] g_{n} [/mm] für i=n den Leitterm. Dort ist dann der Leitkoeffizient nur für n=1 gleich 1. Für n > 1 ist der Leitkoeffizient auch größer als 1. Also ist das Polynom auch in jedem Ring nicht normiert, oder etwa nicht? Bei g erhält man auch wieder für i=1 einen Term 1*X. Also ist der ggT von allen Koeffizienten auch immer 1, oder?
Danke & Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 So 25.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Prüfe die Polynome auf Normiertheit und Primitivität:
> 1. [mm]f_{n}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} (2^i -1)*X^{n-i},[/mm] n [mm]\ge[/mm] 1
> 2. [mm]g_{n}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} (2^i -1)*X^{i},[/mm] n [mm]\ge[/mm] 1
Ueber welchen Ringen?
> mir wurde gesagt, dass man bei dieser Aufgabe
> Fallunterscheidungen zwischen verschiedenen Ringen
> durchführen muss. Nur wird mir das noch nicht ganz klar.
> Hier einmal man Ansatz:
>
> Bei [mm]f_{n}[/mm] ist für i=1 der Exponent am X am größten,
> folglich erhält man bei allen [mm]f_{n}[/mm] für i=1 den Leitterm.
> Dort ist für i=1 immer [mm](2^1[/mm] -1) = 1, also ist das Polynom
> normiert. Wenn ich die Definition der Normiertheit richtig
> verstanden habe, dann ist das Polynom mit LC(f)=1 in jedem
> Ring normiert.
Genau.
> Außerdem habe ich einen Satz in meinem
> Skript stehen, der besagt, dass jedes normierte Polynom
> auch primitiv ist (weil ja dann der ggT immer 1 ist).
Genau.
> Bei [mm]g_{n}[/mm] ist für i=n der Exponent am X am größten,
> folglich erhält man bei allen [mm]g_{n}[/mm] für i=n den Leitterm.
> Dort ist dann der Leitkoeffizient nur für n=1 gleich 1.
Genau. Je nach Ring kann das Polynom aber trotzdem normiert sein.
Um welche Ringe geht es denn nun genau? Ohne diese Info kann man hier ziemlich viel Text schreiben, der vermutlich ueberfluessig ist.
> Für n > 1 ist der Leitkoeffizient auch größer als 1.
> Also ist das Polynom auch in jedem Ring nicht normiert,
> oder etwa nicht?
Nein. Es haengt stark vom Ring ab. Zu jedem $m [mm] \in \IN$ [/mm] gibt es einen Ring $R$, in dem $m = 1$ gilt. (Z.B. in [mm] $\IZ/(m-1)$.)
[/mm]
> Bei g erhält man auch wieder für i=1
> einen Term 1*X. Also ist der ggT von allen Koeffizienten
> auch immer 1, oder?
Ja. (Was man auch immer in allg. Ringen unter ggT verstehen will.)
LG Felix
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