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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Adri_an |
| Aufgabe | Eine Wellenfunktion sei durch
[mm]\Psi(\vec{r})=c\exp(-\kappa |\vec{r}|)[/mm] gegeben. Normieren Sie die Wellenfunktion.
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Bemerkung:
[mm]\kappa > 0[/mm]. In der Vorlesung wird die komplexe Konjugation mit [mm]\*[/mm] symbolisiert.
Habe [mm]|\vec{r}|=r[/mm] gesetzt.
Mein Ansatz:
[mm]1=\displaystyle\int_{\IR^3}|\psi(\vec{r})|^2\ d^3r=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Psi^{\*}(\vec{r})\Psi(\vec{r})\ d^3r=c^2\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp(-2\kappa r)\ d^3r[/mm]
[mm]=c^2\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\left[\displaystyle\frac{(-1)}{2\kappa}\exp(-2\kappa r)\right]_{-\infty}^{+\infty}\ d^2r[/mm]
Hier komme ich nun ins stocken. Die Exponentialfunktion müsste für [mm]+\infty[/mm] null sein, aber für [mm]-\infty[/mm] [mm]\infty[/mm] sein. Weiß nicht weiter?
Gruß,
Adrian.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
da musst du aufpassen:
Wenn da steht [mm] $-k|\vec{r}|$, [/mm] dann ist [mm] $|\vec{r}|\ge [/mm] 0$.
D.h. wenn du jetzt [mm] $r=|\vec{r}|$ [/mm] setzt, dann macht es doch ueberhaupt keinen Sinn, ueber [mm] $-\infty$ [/mm] bis $0$ zu integrieren! Wenn du zB einen Vektor [mm] $(-1/0/0)^t$ [/mm] hast, dann ist doch sein Betrag, obwohl er "ins negative" zeigt, 1, also positiv (oder zumindest nicht negativ).
Wenn du jetzt ueber [mm] $d^3 [/mm] r$ integrierst, dann kannst du das ja zB ueber Kugelkoordinaten machen, wo [mm] $r\in[0;\infty[$ [/mm] und [mm] $d^3r=r^2\sin\vartheta \,dr\,d\varphi\,d\vartheta$
[/mm]
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Adri_an |
Danke dir Kroni, ich versuche es noch einmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Adri_an |
Ist das jetzt richtig?
[mm]1=c^2\displaystyle\int\limits_{0}^{+\infty}\exp(-2\kappa r)\ dr=\displaystyle\frac{-c^2}{2\kappa}[/mm]
[mm]\Rightarrow c=i\sqrt{2\kappa}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Sa 09.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. wenn du nur von 0 bis [mm] \infty [/mm] integr. musst du doch das Integral verdoppeln.
2. du hast nur ein 1d Integral, wo bleiben die anderen Integrationen? Kroni hat dirs doch schon gesagt?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Adri_an |
> 1. wenn du nur von 0 bis [mm]\infty[/mm] integr. musst du doch das
> Integral verdoppeln.
Achso, d.h ein Faktor 2 fehlt. Dann ist
[mm]c=i\sqrt{\kappa}[/mm] ?
> 2. du hast nur ein 1d Integral, wo bleiben die anderen
> Integrationen? Kroni hat dirs doch schon gesagt?
Wieso muss ich die Winkel beachten, wenn sich nur der Radius verändert?
Ohh, weil die Länge des Ortsvektors von der Lage im Raum abhängt.
D.h ich soll dieses Integral berechnen
[mm]1=c^2\displaystyle\int\limits_{\theta=0}^{\pi}\int\limits_{\phi=0}^{2\pi}\int\limits_{r=0}^{+\infty}\exp(-2\kappa r\sqrt{2\sin^2(\phi)\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)})\ r\ d\phi\ d\theta\ dr[/mm]
?
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Hallo!
Nein. Der Integrand [mm] e^{-\kappa |\vec{r}|} [/mm] wird in Kugelkoordinaten einfach zu [mm] e^{-\kappa r}. [/mm] Ich sehe grade auch nicht, woher du den Wurzelterm haben könntest, denn selbst, wenn man für [mm] |\vec{r}|=\vektor{x\\y\\z} [/mm] die einzelnen Komponenten in Kugelkoordinaten einsetzt, kürzen sich alle SIN und COS nach der Regel SIN²+COS²=1 heraus, und du bekommst eben [mm] |\vec{r}|=r [/mm] heraus. Dein Integrand lautet also
[mm] e^{-\kappa r}*r\sin(\theta) [/mm] . Über die Winkel kannst du nun leicht integrieren, über r mittels Part. Integration.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Adri_an |
Warum denn Zylinderkoordinaten? Mir ist das nicht klar.
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Öhm, ich meine natürlich Kugelkoordinaten!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Mo 11.05.2009 | | Autor: | hayabusa |
Ich schreibe hier noch die Lösung der Aufgabe rein:
[mm] \int\limits^{2\cdot \pi }_{\phi=0} \int\limits^{\pi }_{\theta=0}\int\limits^{\infty }_{r=0} c^2 \cdot e^{- 2 \cdot \kappa \cdot r } \cdot r^2 sin(\theta) \cdot dr \cdot d\theta \cdot d\phi =
= c^2 \cdot \int\limits^{2\cdot \pi }_{\phi=0} \int\limits^{\pi }_{\theta=0}\int\limits^{\infty }_{r=0} e^{- 2\cdot \kappa \cdot r } \cdot r^2 sin(\theta) \cdot dr \cdot d\theta \cdot d\phi =
= c^2 \cdot 2 \cdot \pi \cdot \int\limits^{\pi }_{\theta=0}\int\limits^{\infty }_{r=0} e^{- 2\cdot \kappa \cdot r } \cdot r^2 \cdot sin(\theta) \cdot dr \cdot d\theta =
= c^2 \cdot 2 \cdot \pi \cdot [-cos(\theta)]\limits^{\pi}_{0} \cdot \int\limits^{\infty }_{r=0} e^{- 2\cdot \kappa \cdot r } \cdot r^2 \cdot dr =
= c^2 \cdot 2 \cdot \pi \cdot 2\cdot \int\limits^{\infty }_{r=0} e^{- 2\cdot \kappa \cdot r } \cdot r^2 \cdot dr = [/mm]
Jetzt wirds heavy ^^
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Nebenrechnung:
Ich führe das Integral auf die Gammafunktion zurück:
[mm] \int\limits^{\infty }_{r=0} e^{- 2\cdot \kappa \cdot r } \cdot r^2 \cdot dr = [/mm]
Substitution:
[mm] x = 2\kappa \cdot r , r = \frac{x}{2\kappa} , \frac{dx}{dr}= 2 \kappa, dr=\frac{dx}{2\kappa} [/mm]
[mm] = \int\limits^{\infty }_{x=0} e^{- x } \cdot (\bruch{x}{2\kappa})^2 \bruch{dx}{2\kappa}=
( \bruch{1}{2\kappa})^3 \cdot \int\limits^{\infty }_{x=0} e^{- x } \cdot x^2 \cdot dx = ( \bruch{1}{2\kappa})^3 \cdot \Gamma(3)= ( \bruch{1}{2\kappa})^3 \cdot 3! . [/mm]
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[mm]= c^2 \cdot 2 \cdot \pi \cdot 2\cdot ( \bruch{1}{2\kappa})^3 \cdot 3! . [/mm]
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