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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Mo 14.11.2011 | | Autor: | kevin-m. |
| Aufgabe | SATZ 1: [mm] \\
[/mm]
Sei $X$ ein vollständiger Vektorraum bezüglich der Normen [mm] $\left \| . \right \|_1$ [/mm] und [mm] $\left \| . \right \|_2$. [/mm] Gilt [mm] $\left \| x \right \|_1 \leq [/mm] c [mm] \left \| x \right \|_2$ [/mm] für jedes Element $x [mm] \in [/mm] X$, so sind die Normen [mm] $\left \| . \right \|_1$ [/mm] und [mm] $\left \| . \right \|_2$ [/mm] äquivalent. |
Hallo,
in meinem Funktionalanalysis-Skript findet sich ein Beweis zu Satz 1, der folgenden Satz verwendet:
SATZ 2:
"Seien $X$ und $Y$ zwei Banachräume und sei $T$ eine stetige lineare, bijektive Abbildung von $X$ nach $Y$. Dann ist [mm] $T^{-1}$ [/mm] stetig."
Da mir der Beweis (zu SATZ 1) nicht ganz klar ist, würde ich hier gerne eine Frage dazu stellen.
Im Beweis heißt es zu Beginn:
"Da [mm] $\left \| x \right \|_1 \leq [/mm] c [mm] \left \| x \right \|_2$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] X$ gilt, ist die Identität [mm] $\mathrm{id}_X [/mm] : (X, [mm] \left \| . \right \|_2) \to [/mm] (X, [mm] \left \| . \right \|_1)$ [/mm] stetig."
Genau das verstehe ich nicht. Stetigkeit bedeutet per definitionem, dass die Urbilder offener Mengen offen sind.
Wie ist da der genaue Zusammenhang?
Viele Grüße,
Kevin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Mo 14.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> SATZ 1: [mm]\\[/mm]
> Sei [mm]X[/mm] ein vollständiger Vektorraum bezüglich der Normen
> [mm]\left \| . \right \|_1[/mm] und [mm]\left \| . \right \|_2[/mm]. Gilt
> [mm]\left \| x \right \|_1 \leq c \left \| x \right \|_2[/mm] für
> jedes Element [mm]x \in X[/mm], so sind die Normen [mm]\left \| . \right \|_1[/mm]
> und [mm]\left \| . \right \|_2[/mm] äquivalent.
> Hallo,
>
> in meinem Funktionalanalysis-Skript findet sich ein Beweis
> zu Satz 1, der folgenden Satz verwendet:
>
> SATZ 2:
> "Seien [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] zwei Banachräume und sei [mm]T[/mm] eine stetige
> lineare, bijektive Abbildung von [mm]X[/mm] nach [mm]Y[/mm]. Dann ist [mm]T^{-1}[/mm]
> stetig."
>
> Da mir der Beweis (zu SATZ 1) nicht ganz klar ist, würde
> ich hier gerne eine Frage dazu stellen.
>
> Im Beweis heißt es zu Beginn:
>
> "Da [mm]\left \| x \right \|_1 \leq c \left \| x \right \|_2[/mm]
> für alle [mm]x \in X[/mm] gilt, ist die Identität [mm]\mathrm{id}_X : (X, \left \| . \right \|_2) \to (X, \left \| . \right \|_1)[/mm]
> stetig."
>
> Genau das verstehe ich nicht. Stetigkeit bedeutet per
> definitionem, dass die Urbilder offener Mengen offen sind.
>
> Wie ist da der genaue Zusammenhang?
Seien X und Y zwei normierte Räume und f:X [mm] \to [/mm] Y eine Abb.
1. f ist in [mm] x_0 \in [/mm] X stetig [mm] \gdw [/mm] für jede Folge [mm] (x_n) [/mm] in X mit [mm] ||x_n-x_0||_X \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty) [/mm] gilt:
[mm] ||f(x_n)-f(x_0)||_Y \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty).
[/mm]
2. f ist auf X stetig [mm] \gdw [/mm] f ist in jedem x [mm] \in [/mm] X stetig.
FRED
>
> Viele Grüße,
> Kevin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Mo 14.11.2011 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo,
Vielen Dank für die Antwort!
Man muss also die Definition der Folgenstetigkeit verwenden.
Gruß,
Kevin
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