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| Aufgabe | a) Sei A [mm] \in [/mm] M [mm] (n,\IR). [/mm] Charakterisieren Sie die Menge der möglichen Extremalstellen der Funktion [mm] f(x):=\bruch{x^{T}Ax}{||x||^{2}} [/mm] x [mm] \not= [/mm] 0
b) Sei A [mm] \in [/mm] M (n, [mm] \IR) [/mm] symmetrisch und positiv definit und f wie in a). Weisen Sie nach, dass
[mm] x_{min}= [/mm] arg min {f(x); x [mm] \in \IR [/mm] \ {0}} und [mm] x_{max}= [/mm] arg max {f(x); x [mm] \in \IR [/mm] \ {0}}
existieren. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen [mm] f(x_{min}), f(x_{max}) [/mm] und den Eigenwerten von A? |
Hallöchen,
die obige Aufgabe macht mir während meiner Klausurvorbereitung ziemlich zu schaffen. Zunächst zum aufgabenteil A mir macht es schon Probleme die Funktion abzuleiten. Was mache ich denn mit dem [mm] x^{T} [/mm] usw? Kann mir das bitte jemand erklären?,,,Ich verstehe da echt nur bahnhof
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Mi 05.10.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Schmetterfee!
> a) Sei [mm]A \in M (n,\IR).[/mm] Charakterisieren Sie die Menge der
> möglichen Extremalstellen der Funktion
> [mm]f(x):=\bruch{x^{T}Ax}{||x||^{2}}[/mm], [mm] x \not=0[/mm]
> b) Sei [mm]A\in M (n, \IR)[/mm] symmetrisch und positiv definit
> und f wie in a). Weisen Sie nach, dass
> [mm]x_{min}= arg \min \{f(x); x \in \IR \backslash\{0\}\} [/mm] und [mm]x_{max}= arg \max \{f(x); x \in \IR \backslash \{0\}\}[/mm]
> existieren. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen
> [mm]f(x_{min}), f(x_{max})[/mm] und den Eigenwerten von A?
> Hallöchen,
>
> die obige Aufgabe macht mir während meiner
> Klausurvorbereitung ziemlich zu schaffen. Zunächst zum
> aufgabenteil A mir macht es schon Probleme die Funktion
> abzuleiten. Was mache ich denn mit dem [mm]x^{T}[/mm] usw? Kann mir
> das bitte jemand erklären?,,,Ich verstehe da echt nur
> bahnhof
Am einfachsten ist es, wenn du dir die Funktion als Funktion der Komponenten [mm] $x=(x_1,\dots,x_n)$ [/mm] hinschreibst:
[mm] x^TAx = \summe_{i,j=1}^n x_i a_{ij}x_j [/mm] und [mm]\|x\|^2 = \summe_{k=1}^n x_k^2 [/mm] .
Ich schreibe die partielle Ableitung nach [mm] $x_i$ [/mm] zur Abkürzung als [mm] $\partial_i$, [/mm] und damit ist
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x_l}(x) = \bruch{\|x\|^2\partial_l\left(\summe_{i,j=1}^n x_i a_{ij}x_j\right) - \left( \summe_{i,j=1}^n x_i a_{ij}x_j\right) \partial_l\left(\summe_{k=1}^n x_k^2\right)}{\|x\|^4} [/mm]
[mm] = \bruch{\|x\|^2\left(\summe_{j=1}^na_{lj}x_j + \summe_{i=1}^nx_ia_{il}\right) - \left( \summe_{i,j=1}^n x_i a_{ij}x_j\right) *2 x_l}{\|x\|^4} [/mm] .
Nun ist ja [mm] $a_{il} [/mm] = [mm] (A^T)_{li}$ [/mm] und daher
[mm] \summe_{i=1}^nx_ia_{il} = (A^Tx)_l [/mm] .
Zusammen gefasst:
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x_l}(x) = \bruch{\|x\|^2 (Ax+A^Tx)_l -2 x_l(x^TAx)}{\|x\|^4} [/mm] ,
oder:
[mm] \grad f(x) = \bruch{1}{\|x\|^4} \left((x*x) (Ax+A^Tx) -2 x (x^TAx)\right) [/mm] .
Für ein Extremum muss also
(*) [mm] (x*x) (Ax+A^Tx) -2 x (x^TAx) = 0[/mm]
gelten.
An dieser Stelle ist es nützlich festzustellen, dass f nur von der Richtung von x abhängt, nicht von seiner Norm, denn bei Multiplikation von x mit einer Konstanten ändert sich $f(x)$ nicht.
Damit liegen alle Extremalstellen auf Geraden durch den Ursprung, und du kannst dich bei der Lösung von (*) auf Einheitsvektoren [mm] ($\|x\|=1$) [/mm] beschränken.
Viele Grüße
Rainer
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