Normen ??? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo !
Erneut habe ich ein größeres Problem mit einer Aufgabe (Hätte ich vielleicht doch Religion nehmen sollen ?) !
Diesmal ist es aber noch sehr viel schlimmer, als das letzte Mal:
Zwei Normen || * || und ||| * ||| auf einem Vektorraum E heißen äquivalent, falls positive Konstanten c, c' existieren, sodaß:
||| x ||| [mm] \le [/mm] || x || [mm] \le [/mm] ||| x ||| für alle x [mm] \in [/mm] E !
Man zeige, dass in [mm] \IR^{n} [/mm] alle Normen äquivalent sind !
Mein Problem ist ganz einfach zu umreißen:
Ich habe nicht die geringste Ahnung, was mir diese vielen lustigen senkrechten Stiche (geht leider nicht schöner, da das Forum auch nicht auf so nen Blödsinn vorbereitet war) eigentlich sagen wollen und mir will sogar noch weniger in den Kopf, warum Normen (im mathematischen Sinne) in meinem Leben überhaupt eine Rolle spielen sollten !
Das ist das einzige Forum, in dem ich diese Frage gestellt habe !
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Hallo Sebastian!
> Mein Problem ist ganz einfach zu umreißen:
> Ich habe nicht die geringste Ahnung, was mir diese vielen
> lustigen senkrechten Stiche (geht leider nicht schöner, da
> das Forum auch nicht auf so nen Blödsinn vorbereitet war)
> eigentlich sagen wollen und mir will sogar noch weniger in
> den Kopf, warum Normen (im mathematischen Sinne) in meinem
> Leben überhaupt eine Rolle spielen sollten !
Das Problem mit den Strichen ist leicht so lösen: Tippe z.B. $||x||$ für $||x||$...
Dein Frust ist leider im Grundstudium ganz normal. Als einzigen Rat kann man da wohl geben: Durchhalten. Nicht nachlassen.
Leider kann ich dir nicht versprechen, dass der Frust irgendwann aufhört. Das gehört zur Mathematik dazu. Aber man gewöhnt sich dran und nimmt's sich nicht mehr so zu Herzen. Also Kopf hoch!
> Zwei Normen || * || und ||| * ||| auf einem Vektorraum E
> heißen äquivalent, falls positive Konstanten c, c'
> existieren, sodaß:
> c||| x ||| [mm]\le[/mm] || x || [mm]\le[/mm] C||| x ||| für alle x [mm]\in[/mm] E !
> Man zeige, dass in [mm]\IR^{n}[/mm] alle Normen äquivalent sind !
Du betrachtest [mm] $K:=\{x\in\IR^n:\ \|x\|=1\}$. [/mm] Definiere dir die Funktion [mm] $x\mapsto\bruch{\|x\|}{|||x|||}$ [/mm] für [mm] $x\ne [/mm] 0$. Diese Funktion ist stetig. Also nimmt sie auf dem Kompaktum $K$ ihr Minimum $c>0$ und Maximum $C>0$ an...
Gruß, banachella
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Erstmal "Danke" für deine aufmunternden Worte, ich bin nicht im Begriff "den Mut zu verlieren", ich weiß nur, dass ich das nach dem Studium nie wieder brauchen werde und auch in einer anderen Analysisvorlesung nicht gebraucht habe oO !
Naja, wenigstens kann ich jetzt Striche dicht aneinander schreiben :)
Mein größestes Problem hast Du aber mit deiner Antwort nicht gelöst: WTF sind eigentlich Normen, was tun die, was können die so unglaublich tolles, dass ich dazu gezwungen werde mir Gedanken darüber zu machen ?
Vielleicht liegt es ja an meinem fehlenden Wissen über senkrechte Striche, aber ich verstehe auch nicht, wie mir dein Tipp dabei hilft zu beweisen, dass alle Normen in [mm] \IR^n [/mm] äquivalent sind...
P.S.: Religion ist doch auch ein schönes Fach...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Di 31.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Sebastian,
ich muss mal eben etwas allgemeines zum Lehrmatsstudium Mathematik sagen:
Ich persönlich finde es wichtig und richtig, dass man im Studium genau solche Sachen lernt. Wenn man nicht weiß wofür man gegebenenfalls die Schüler vorbereitet - und die Wissesnchaftspropedeutik steht immer noch in allen Richtlinien - kann man auch nicht richtig unterrichten. Gerade der Begriff der Norm ist relativ leicht und könnte in einem Mathe-LK genutzt werden um den Abstandsbegriff entsprechend zu verallgemeinern - dazu aber später mehr. Ich kann mir auch nicht vorstellen, dass der Begriff der Norm in deinem Hauptstudium nicht mehr auftaucht.
Ich finde halt, dass man mit bestandenem Abitur nicht als Mathelehrer arbeiten können sollte: nach dem Abitur hast du doch schon alle Kenntnisse die man für die Schule braucht, oder? Eben nicht, dir fehlt dann der Überblick, du weißt nicht wo Fehler gemachte werden, die "glaubst" Verfahren und Algorithmen, erst wenn diese bewiesen sind, hast du ein wirkliches Fundament. Leider sind Schüler heute oft so unkritisch, dass sie nicht immer weiter bohren und Gegenbeispiele, Bewiese forden. Aber man sollte diese trotzdem kennen!
Jetzt zu den Normen. Die Norm ist eine Abbildung, die jedem Element eines [mm] $\IR$-Vektorraums [/mm] $V$ eine reelle Zahl zuordnet: [mm] $||\cdot||: [/mm] V [mm] \to \IR$. [/mm] Die Abbildung [mm] $||\cdot||$ [/mm] muss die folgenden Eigenschaften erfüllen:
(N1) $||0||=0$ und $||x||>0$ für [mm] $x\neq [/mm] 0$ (Positivdefinitheit)
(N2) [mm] $||\alpha \cdot x||=|\alpha| \cdot [/mm] ||x||$ (Homogenität)
(N3) [mm] $||x+y||\le [/mm] ||x||+||y||$ (Dreiecksungleichung)
Zum Beispiel ist die Betragsfunktion auf dem Vektorraum [mm] $\IR$ [/mm] bereits eine Norm. Normen verallgemeinern also die Betragsfunktion. Daher werden in der Definition nur diese Eigenschaften gefordert.
Als Beispiele für Normen seien folgende genannt:
1) Euklidische Norm: Mit dieser wird die Länge eines Vektors im [mm] $\IR^n$ [/mm] bestimmt in der Schule.
[mm] $||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots + x_n^2}$
[/mm]
2) Die sogenannte $p$-Norm (eine Verallgemeinerung der euklidischen Norm):
[mm] $||x||_p= \sqrt[p]{x_1^p+x_2^p+\cdots + x_n^p}$
[/mm]
(Besonders leicht ist hier der Fall $p=1$ und damit [mm] $||x||=x_1+x_2+\cdots+x_n$.)
[/mm]
3) Die Maximumsnorm:
[mm] $||x||_{\infty}=\max\{x_1; x_2; \cdots; x_n\}$
[/mm]
Normen sind deshalb wichtig, weil man durch die Abbildung $d(x;y)=||x-y||$ eine sogenannte Metrik auf dem Vektorraum definieren kann und damit einen Abstand zwischen zwei Punkten definieren kann.
Gruß Max
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