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| Aufgabe 1 | 1)
a)
Für [mm] x=(x_{1},x_{2}) \in R^{2} [/mm] erklären wir
[mm] ||x||_{1} [/mm] := [mm] |x|_{1}+|x|_{2}
[/mm]
[mm] ||x||_{2} [/mm] := [mm] (|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2})^{1/2}
[/mm]
[mm] ||x||_{\infty} [/mm] := [mm] max(|x|_{1},|x|_{2})
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] ||x||_{1 }, ||x||_{\infty} [/mm] Normen in [mm] R^{2} [/mm] sind.
b)
Zeigen Sie, daß die Normen [mm] ||x||_{1 }, ||x||_{\infty} [/mm] auf dem [mm] R^{2} [/mm] äquivalent sind.
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| Aufgabe 2 | 2)
Zeigen Sie, dass in jedem normierten Raum X gilt:
a) Aus [mm] x_{n}\to [/mm] x in X und [mm] a_{n}\to [/mm] a in R folgt [mm] a_{n}x_{n}\to [/mm] ax in X.
b) Aus [mm] x_{n}\to [/mm] x in X folgt, dass [mm] (x_{n}) [/mm] eine Chaucyfolge ist. |
1)
a)
Muss ich da einfach die Definition anwenden? Also
[mm] ||x||\ge [/mm] 0; ||x||=0 wenn x=0
||ax|| = [mm] |a|\*||x||
[/mm]
||x + y|| [mm] \le [/mm] ||x|| + ||y||
b)
keine ahnung wie ich das zeigen soll, ergibt sich das dann aus a?
2)
Hier habe ich leider gar kein ansatz!
wäre sehr dankbar über hilfestellungen und tipps!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Mo 30.06.2008 | | Autor: | Blech |
> b)
> Zeigen Sie, daß die Normen [mm]||x||_{1 }, ||x||_{\infty}[/mm] auf
> dem [mm]R^{2}[/mm] äquivalent sind.
Was ist denn die Definition der Äquivalenz?
Warum sind sie im [mm] $\IR^1$ [/mm] trivialerweise äquivalent? Im [mm] $\IR^2$ [/mm] mußt Du die einzelnen Glieder von [mm] $\| x\|_1$ [/mm] halt entsprechend abschätzen.
>
> 2)
> Zeigen Sie, dass in jedem normierten Raum X gilt:
> a) Aus [mm]x_{n}\to[/mm] x in X und [mm]a_{n}\to[/mm] a in R folgt
> [mm]a_{n}x_{n}\to[/mm] ax in X.
Was ist die Definition der Konvergenz? Benenn mal die entsprechenden Konstanten für [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $x_n$ $\varepsilon_1$ [/mm] und [mm] $\varepsilon_2$ [/mm] und zeig, daß Du sie immer entsprechend wählen kannst, wenn bei [mm] $a_nx_n$ [/mm] ein [mm] $\varepsilon$ [/mm] gefordert wird.
> b) Aus [mm]x_{n}\to[/mm] x in X folgt, dass [mm](x_{n})[/mm] eine
> Chaucyfolge ist.
Was ist die Definition einer Cauchy-Folge? Wie könntest Du [mm] $\| x_n-x_m\|$ [/mm] bei einer Folge, die gegen ein x konvergiert (hust), nach oben abschätzen?
> Muss ich da einfach die Definition anwenden? Also
Ja.
> b)
> keine ahnung wie ich das zeigen soll, ergibt sich das dann
> aus a?
Nein, aus der Definition von [mm] $\|\cdot\|_1$ [/mm] und [mm] $\|\cdot\|_\infty$.
[/mm]
> 2)
> Hier habe ich leider gar kein ansatz!
>
Schau Dir die Definitionen an.
ciao
Stefan
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> > b)
> > Zeigen Sie, daß die Normen [mm]||x||_{1 }, ||x||_{\infty}[/mm]
> auf
> > dem [mm]R^{2}[/mm] äquivalent sind.
>
> Was ist denn die Definition der Äquivalenz?
> Warum sind sie im [mm]\IR^1[/mm] trivialerweise äquivalent? Im
> [mm]\IR^2[/mm] mußt Du die einzelnen Glieder von [mm]\| x\|_1[/mm] halt
> entsprechend abschätzen.
Also klar ist, in [mm] R^{1} [/mm] ist [mm] |x_{1}|=max(|x_1{}|). [/mm] Jedoch weiß ich nicht wie ich die Abschätzung aus [mm] ||x_{1}|| [/mm] wählen soll, damit diese gleich [mm] ||x||_{\infty} [/mm] in [mm] R^{2} [/mm] ist
>
> >
> > 2)
> > Zeigen Sie, dass in jedem normierten Raum X gilt:
> > a) Aus [mm]x_{n}\to[/mm] x in X und [mm]a_{n}\to[/mm] a in R folgt
> > [mm]a_{n}x_{n}\to[/mm] ax in X.
>
> Was ist die Definition der Konvergenz? Benenn mal die
> entsprechenden Konstanten für [mm]a_n[/mm] und [mm]x_n[/mm] [mm]\varepsilon_1[/mm] und
> [mm]\varepsilon_2[/mm] und zeig, daß Du sie immer entsprechend
> wählen kannst, wenn bei [mm]a_nx_n[/mm] ein [mm]\varepsilon[/mm] gefordert
> wird.
>
Ja dann geht [mm] x_{n}\to \varepsilon_{1} [/mm] und [mm] a_{n}\to \varepsilon_{2} [/mm] aber die schlussfolgerung daraus wird mir dann nicht ersichtlich :/
> > b) Aus [mm]x_{n}\to[/mm] x in X folgt, dass [mm](x_{n})[/mm] eine
> > Chaucyfolge ist.
>
> Was ist die Definition einer Cauchy-Folge? Wie könntest Du
> [mm]\| x_n-x_m\|[/mm] bei einer Folge, die gegen ein x konvergiert
> (hust), nach oben abschätzen?
>
Also [mm]\| x_n-x_m\|[/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] sein, aber muss wieder sagen, ich kann damit nicht viel anfangen...
>
> > Muss ich da einfach die Definition anwenden? Also
>
> Ja.
>
> > b)
> > keine ahnung wie ich das zeigen soll, ergibt sich das
> dann
> > aus a?
>
> Nein, aus der Definition von [mm]\|\cdot\|_1[/mm] und
> [mm]\|\cdot\|_\infty[/mm].
>
> > 2)
> > Hier habe ich leider gar kein ansatz!
> >
> Schau Dir die Definitionen an.
>
>
> ciao
> Stefan
danke erstmal für deine schnelle antwort. ich hab wirklich sehr wenig gemacht für studium bis jetzt aus persönlichen gründen. darum muss ich das jetzt alles bissl aufarbeiten, aber sowas wie die abschätzungen, dafür fehlt mir irgendwie noch der blick. könntest du mir das bitte noch etwas genauer erläutern was ich zu tun habe?
mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Mo 30.06.2008 | | Autor: | Leipziger |
Kann mir keiner weiterhelfen?
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Hallo Leipziger,
> > > b)
> > > Zeigen Sie, daß die Normen [mm]||x||_{1 }, ||x||_{\infty}[/mm]
> > auf
> > > dem [mm]R^{2}[/mm] äquivalent sind.
> >
> > Was ist denn die Definition der Äquivalenz?
> > Warum sind sie im [mm]\IR^1[/mm] trivialerweise äquivalent? Im
> > [mm]\IR^2[/mm] mußt Du die einzelnen Glieder von [mm]\| x\|_1[/mm] halt
> > entsprechend abschätzen.
>
> Also klar ist, in [mm]R^{1}[/mm] ist [mm]|x_{1}|=max(|x_1{}|).[/mm] Jedoch
> weiß ich nicht wie ich die Abschätzung aus [mm]||x_{1}||[/mm]
> wählen soll, damit diese gleich [mm]||x||_{\infty}[/mm] in [mm]R^{2}[/mm]
> ist
>
> >
> > >
> > > 2)
> > > Zeigen Sie, dass in jedem normierten Raum X gilt:
> > > a) Aus [mm]x_{n}\to[/mm] x in X und [mm]a_{n}\to[/mm] a in R folgt
> > > [mm]a_{n}x_{n}\to[/mm] ax in X.
> >
> > Was ist die Definition der Konvergenz? Benenn mal die
> > entsprechenden Konstanten für [mm]a_n[/mm] und [mm]x_n[/mm] [mm]\varepsilon_1[/mm] und
> > [mm]\varepsilon_2[/mm] und zeig, daß Du sie immer entsprechend
> > wählen kannst, wenn bei [mm]a_nx_n[/mm] ein [mm]\varepsilon[/mm] gefordert
> > wird.
> >
> Ja dann geht [mm]x_{n}\to \varepsilon_{1}[/mm] und [mm]a_{n}\to \varepsilon_{2}[/mm]
> aber die schlussfolgerung daraus wird mir dann nicht
> ersichtlich :/
>
> > > b) Aus [mm]x_{n}\to[/mm] x in X folgt, dass [mm](x_{n})[/mm] eine
> > > Chaucyfolge ist.
> >
> > Was ist die Definition einer Cauchy-Folge? Wie könntest Du
> > [mm]\| x_n-x_m\|[/mm] bei einer Folge, die gegen ein x konvergiert
> > (hust), nach oben abschätzen?
> >
> Also [mm]\| x_n-x_m\|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] sein, aber muss wieder
> sagen, ich kann damit nicht viel anfangen...
> >
> > > Muss ich da einfach die Definition anwenden? Also
> >
> > Ja.
> >
> > > b)
> > > keine ahnung wie ich das zeigen soll, ergibt sich
> das
> > dann
> > > aus a?
> >
> > Nein, aus der Definition von [mm]\|\cdot\|_1[/mm] und
> > [mm]\|\cdot\|_\infty[/mm].
> >
> > > 2)
> > > Hier habe ich leider gar kein ansatz!
> > >
> > Schau Dir die Definitionen an.
> >
> >
> > ciao
> > Stefan
>
>
> danke erstmal für deine schnelle antwort. ich hab wirklich
> sehr wenig gemacht für studium bis jetzt aus persönlichen
> gründen. darum muss ich das jetzt alles bissl aufarbeiten,
> aber sowas wie die abschätzungen, dafür fehlt mir irgendwie
> noch der blick. könntest du mir das bitte noch etwas
> genauer erläutern was ich zu tun habe?
Ein nützlicher Artikel hierzu: ![[]](/images/popup.gif) Normierter Raum
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> mfg
Gruß
MathePower
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