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Hallo zusammen!
Ich habe mich gefragt, ob man allein durch die Anwendung der 3 Normeigenschaften einer Norm (also Dreiecksungleichung, und die anderen Beiden) zeigen kann, daß für den [mm]i\texttt{--ten}[/mm] Einheitsvektor [mm] $e^{(i)} \in \mathbb{R}^n$ [/mm] gilt: [mm] $\left|\left|e^{(i)}\right|\right| [/mm] = 1$. Geht das irgendwie, oder ist das wirklich einfach so definiert? (Zumindest im Internet scheint man es immer so zu definieren.)
Alle meine Versuche dazu liefen bisher ins Leere, da man ohne die konkrete Angabe einer Norm hier offenbar nichts zeigen kann. Ist es hier nicht vielleicht doch möglich einen Widerspruch zu konstruieren, wenn man von [mm] $\left|\left|e^{(i)}\right|\right| \ne [/mm] 1$ ausgeht ohne eine konkrete Norm angeben zu müssen?
Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:15 Di 07.02.2006 | | Autor: | andreas |
hallo
also wenn ich deine frage richtig verstehe willst du eine norm konstruieren, die einen einheitsvektor [mm] $e_j$ [/mm] nicht mit $1$ bewertet, dabei soll [mm] $e_j$ [/mm] der vektor in [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] sein, der als einträge null hat außer an der $j$-ten stelle, wo eine eins steht. dann hilft dir, dass für jede norm [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] auch [mm] $k\| \cdot\|$ [/mm] für alle $k > 0$ eine norm ist.
grüße
andreas
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Hallo Andreas,
> dann hilft dir, dass für jede norm
> [mm]\|\cdot\|[/mm] auch [mm]k\| \cdot\|[/mm] für alle [mm]k > 0[/mm] eine norm ist.
Also wenn ich jetzt den obigen Tipp richtig verstehe, müßte ich doch irgendwie so anfangen:
Zu Zeigen:
Für den [mm]i\texttt{--ten}[/mm] Einheitsvektor [mm]e^{(i)} \in \mathbb{R}^n[/mm] gilt: [mm]\left|\left|e^{(i)}\right|\right| = 1[/mm].
Beweis:
Angenommen die Aussage gilt nicht. Dann [mm]\exists z \in (0,1) \cup (1,\infty): \left|\left|e^{(i)}\right|\right| = z[/mm]. Und jetzt formen wir um:
[mm]\left|\left|e^{(i)}\right|\right| = z \gdw \frac{1}{z}\left|\left|e^{(i)}\right|\right| = 1 \gdw \left|\left|\frac{1}{z}e^{(i)}\right|\right| = 1[/mm]
Aber ist hier schon irgendwo ein Widerspruch? Und wenn nicht, wie müßte man dann hier weitermachen?
Danke!
Grüße
Karl
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Lieber Karl,
mir bleibt im wesentlichen nur, auf die Antwort von andreas zu verweisen:
Wenn [mm] \paralle\cdot\parallel [/mm] eine beliebige Norm auf [mm] \IR^n [/mm] ist, so ist
die Abbildung [mm] \IR^n\to\IR,\:\: x\mapsto k\cdot \parallel x\paralle
[/mm]
auch eine Norm, erfuellt also die Norm-Axiome. Gaebe es also einen solchen von Dir
erhofften Beweis, der nur auf den Norm-Axiomen beruht, wuerde der also auch fuer jede
andere Norm funktionieren, bezgl. der dann [mm] e_i [/mm] nicht Norm 1 hat.
Lieber Karl, eine Idee fuer Dich am Rande:
Die Abbildung [mm] \IR^n\to\IR, x\mapsto \parallel x\parallel_2^{\alpha}
[/mm]
(fuer [mm] \alpha [/mm] >1) definiert eine Quasinorm, dh. es gilt nicht mehr Dreiecksungleichung, sondern nur noch
[mm] \parallel x+y\parallel_2^{\alpha}\leq \beta\cdot (\parallel x\parallel_2^{\alpha} +\parallel y\parallel_2^{\alpha} [/mm]
(Frage: Fuer welches [mm] \beta [/mm] ?).
Nimm nun die 2-approximative Spanning-Tree-Heuristik fuer [mm] \DeltaTSP [/mm] und wende das Verfahren auf TSP in [mm] \IR^n [/mm] mit Quasinorm [mm] \parallel \cdot\parallel_2^{\alpha}
[/mm]
anstatt eukl. Norm an. Welche Approximationsguete bekommst Du ?
Bringt Dich auf andere Gedanken.
Viele Gruesse,
Mathias
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Hallo Mathias!
> mir bleibt im wesentlichen nur, auf die Antwort von andreas
> zu verweisen:
>
> Wenn [mm]\parallel\cdot\parallel[/mm] eine beliebige Norm auf [mm]\IR^n[/mm]
> ist, so ist
>
> die Abbildung [mm]\IR^n\to\IR,\:\: x\mapsto k\cdot \parallel x\parallel[/mm]
>
> auch eine Norm, erfuellt also die Norm-Axiome. Gaebe es
> also einen solchen von Dir
> erhofften Beweis, der nur auf den Norm-Axiomen beruht,
> wuerde der also auch fuer jede
> andere Norm funktionieren, bezgl. der dann [mm]e_i[/mm] nicht Norm
> 1 hat.
Das heißt also, man definiert es sich so: [mm]\left|\left|e^{(i)}\right|\right| := 1[/mm]? Denn allein aus den Norm-Axiomen heraus, wäre es nicht möglich [mm]\left|\left|e^{(i)}\right|\right|[/mm] einen eindeutigen Wert > 0 zuzuweisen, richtig? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Lieber Karl, eine Idee fuer Dich am Rande:
> Die Abbildung [mm]\IR^n\to\IR, x\mapsto \parallel x\parallel_2^{\alpha}[/mm]
>
> (fuer [mm]\alpha[/mm] >1) definiert eine Quasinorm, dh. es gilt
> nicht mehr Dreiecksungleichung, sondern nur noch
>
> [mm]\parallel x+y\parallel_2^{\alpha}\leq \beta\cdot (\parallel x\parallel_2^{\alpha} +\parallel y\parallel_2^{\alpha}[/mm]
>
>
> (Frage: Fuer welches [mm]\beta[/mm] ?).
Ähh ... also ich hab's jetzt mal versucht in der Hoffnung die obige Idee etwas besser zu verstehen (Es hängt doch damit zusammen, oder?). Aber ich hab' irgendwie keine Ahnung wie man hier auf das [mm]\beta[/mm] kommt:
[mm]\left|\left|x+y\right|\right|_2^{\alpha} \leqslant \beta\left(\left|\left|x\right|\right|_2^{\alpha}+\left|\left|y\right|\right|_2^{\alpha}\right) \Rightarrow \left^{\frac{\alpha}{2}} \leqslant \beta\left^{\frac{\alpha}{2}} + \beta\left^{\frac{\alpha}{2}}[/mm]
[mm]\Rightarrow \left^{\alpha} \leqslant \beta^2\left(\left^{\alpha}+2\left^{\frac{\alpha}{2}}\left^{\frac{\alpha}{2}}+\left^{\alpha}\right)[/mm]
Nun gilt ja:
[mm]\left = \sum_{i=1}^n{\left(x_i+y_i\right)^2} = \sum_{i=1}^n{\left(x_i^2 + 2x_iy_i + y_i^2\right)} = \sum_{i=1}^n{x_i^2}+2\sum_{i=1}^n{x_iy_i}+\sum_{i=1}^n{y_i^2}[/mm]
[mm]= \left + 2\left + \left[/mm]
Und damit:
[mm]\left(\left + 2\left + \left\right)^{\alpha} \leqslant \beta^2\left(\left^{\alpha} + 2\left^{\frac{\alpha}{2}}\left^{\frac{\alpha}{2}} + \left^{\alpha}\right)[/mm]
Ja und jetzt? Mir ist irgendwie nicht klar, wohin der Hase läuft.
Liebe Grüße
Karl
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Hallo Karl,
also zum ersten Teil Deiner Nachfrage:
Es ist nicht so, dass man speziell [mm] \parallel e_i\parallel [/mm] =1 definiert
(wobei [mm] e_i [/mm] der i-te Standard-Einheitsvektor des [mm] \IR^n [/mm] ist, also
[mm] e_i [/mm] = [mm] (0,\ldots [/mm] , [mm] 1,\ldots 0)^T [/mm] ( 1 genau an der i-ten Stelle, das hoch T bedeutet ''transponiert'')),
sondern fuer bestimmte Normen des [mm] \IR^n [/mm] FOLGT dies aus der Definition der Norm, zB
[mm] \parallel (x_1,\ldots [/mm] , [mm] x_n)\parallel_2 :=\sum_{i=1}^n x_i^2 [/mm]
(die Def. der Euklidischen Norm des [mm] \IR^n)
[/mm]
impliziert ja [mm] \parallel e_i\parallel_2=1 [/mm] (rechne es nach),
analog ebenfalls fuer die [mm] L_1-Norm
[/mm]
[mm] \parallel (x_1,\ldots [/mm] , [mm] x_n)\parallel_1 :=\sum_{i=1}^n |x_i|
[/mm]
(rechne auch hier nach: [mm] \parallel e_i\parallel_1=1.
[/mm]
Zum zweiten Teil werd ich Dir ein wenig spaeter separat in diesem Strang antworten,
hab gerade nen Termin.
Herzlichst,
Mathias
PS Ansonsten komm in mein Buero, dann erklaere ich es Dir vor Ort.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:16 Mi 08.02.2006 | | Autor: | mathiash |
Lieber Karl,
sehr gut gerechnet.
Viele Gruesse,
Mathias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Mi 08.02.2006 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Vielleicht kann ich ja auch was zum Verständnis beitragen ...
Als erstes: was ist für dich [m]e_i[/m]? Ich hoffe du meinst die kanonisch gegebene Basis des [m]\IR^n[/m].
> Das heißt also, man definiert es sich so:
> [mm]\left|\left|e^{(i)}\right|\right| := 1[/mm]?
Naja. Da die Norm ja eine Funktion ist, ist das entweder schon vorgegeben, oder aber man fordert das und sucht sich dann passende Normen.
Hast du aber eine Norm gegeben und eine Basis [m]\{v_i\}[/m], so ist [m]\{\bruch{v_i}{||v_i||}\}[/m] eine normierte Basis bezüglich der Norm. Umgekehrt kann man sich K als konvexe Hülle von [m]\{v_i\}\cup\{-v_i\}[/m] defineiren (K ist somit auch kompakt und punktsymmetrisch zur 0) und erhält mit [m]||x||=\bruch{1}{\max\{t\in \IR|t*x\in K\}}[/m] eine Norm bzgl derer die Basis normiert auf 1 ist. (Zum letzteren vergl. Königsberger Ana II, Aufgabe 3.19.
Alle hier gemachten unbewiesenen Aussagen sind natürlich Übungsaufgaben ;-p
SEcki
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Einige "stille Mitleser" des Forums werden sich vielleicht freuen. 
