Normalverteilung Dichte < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
habe jetzt eine kurze Frage zu der Dichte der Normalverteilung.
Sei die Normalverteilung so definiert
f(t) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi\lambda^{2}}} [/mm] * [mm] e^{-\bruch{(t-\mu)^{2}}{2\lambda^{2}}} [/mm] , t [mm] \in \IR
[/mm]
mit [mm] \mu \in \IR [/mm] und [mm] \lambda \in (0,\infty)
[/mm]
Dann wollen wir jetzt zeigen dass es auch ein W'keitdichte ist. Also über [mm] \IR [/mm] integriert muss es 1 ergeben.
Dann steht in meinen Skript folgendes:
"Zunächst bemerken wir, dass es genügt, dies nur für [mm] \mu=0 [/mm] und [mm] \lambda=1 [/mm] zu tun, denn das Integral erstreckt sich über die gesamte Achse und kann um [mm] \mu [/mm] verschoben werden, und eine Substitution [mm] t=z*\lambda [/mm] führt die Frage auf den Fall [mm] \lambda=1 [/mm] zurück.
Wir werden zeigen, dass
[mm] \integral_{\IR}^{}{e^{\bruch{-t^{2}}{2}}}dt [/mm] = [mm] \wurzel{2\pi} [/mm]
woraus folgt, dass f(t) eine W'keitdichte ist .
Ich stehe bei dem Absatz voll auf dem Schlauch. Also ich weiß garnicht was der Anfang des Beweises ist.
1.) Muss ich zuerst über R integrieren nur mit [mm] \mu=0 [/mm] und [mm] \lambda=1 [/mm] ???
2.) Und was hat es mit der Substitution zu tun?
Vielen Dank schonmal für die Antworten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:27 Do 27.06.2013 | | Autor: | Fry |
Hallo,
das soll heißen, dass man den allgemeinen Fall auf den Fall [mm]\mu=0[/mm] und [mm]\sigma^2=1[/mm] zurückführen kann,
denn mittels Substitution [mm]t=\frac{x-\mu}{\sigma}[/mm] erhält man:
[mm]\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}\dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}t^2}\dx[/mm]
VG
Christian
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Vielen dank. Du hast mir sehr geholfen.
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