Normalverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 Do 19.09.2013 | | Autor: | starki |
| Aufgabe | Das Erzeugnis eines Produktionsprozesses ist von erster Wahl, wenn das normalverteilte Qualiätsmerkmal größer als 110 ist, es ist von zweiter Wahl, wenn das Qualitätsmerkmal zwischen 100 und 110 liegt, die verbleibenden Erzeugnisse bilden den Ausfall der Produktion. Für [mm] \mu [/mm] = 110 und [mm] \sigma [/mm] = 5 berechne man die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
a) A - das Erzeugnis ist erste Wahl
b) B - das Erzeugnis ist zweite Wahl
c) C - das Erzeugnis ist Ausfall
d) D - von 5 Erzeugnissen sind 3 erste Wahl. |
Also ich hab angefangen, die Formeln für die Normalverteilung hierfür zu verwenden.
a) P(A) = P(X [mm] \ge [/mm] 110) = 1 - P(X [mm] \le [/mm] 110) =
1 - [mm] \Phi(\frac{110 + 0,5 - \mu}{\sigma}) [/mm] = ... = 1 - 0,53983
Nun habe ich mich hier später gefragt: Da wir ja eh schon von der Mitte ausgehen (vom Erwartungswert), müsste die Lösung nicht 0,5 sein, da ja die Fläche vom Erwartungswert bis nach [mm] +\infty [/mm] ja die Hälfte bildet, also 0,5 ?
Woher weiß ich also, wann ich die Stetigkeitskorrektur einsetzen soll, wann nicht? Das macht mir noch zu schaffen.
b) P(B) = P(100 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 110) =
[mm] \Phi(\frac{110 + 0,5 - \mu}{\sigma}) [/mm] - [mm] \Phi(\frac{100 - 0,5 - \mu}{\sigma}) [/mm] = ... = 0,53983 - 1 + 0.98214 = 0,52197
c) und d) folgen später ....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Do 19.09.2013 | | Autor: | starki |
c) P(C) = 1 - P(B) - P(A)
d) P("Erste Wahl") = P(A)
P("Nicht erste Wahl") = 1 - P(A)
[mm] \vektor{ 5 \\ 3 } [/mm] * [mm] P(A)^3 [/mm] * (1 - [mm] P(A))^2
[/mm]
Stimmen meine Lösungen (bzw. meine Lösungswege)?
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Hallo,
> c) P(C) = 1 - P(B) - P(A)
>
[mm] P(C)=P(X\le{100}). [/mm] Wozu mit irgenmdwelchen Gegenereignissen herumhantieren, wenn man eine Wahrscheinlichkeit direkt per Verteilungsfunktion berechnen kann?
> d) P("Erste Wahl") = P(A)
> P("Nicht erste Wahl") = 1 - P(A)
>
> [mm]\vektor{ 5 \\ 3 }[/mm] * [mm]P(A)^3[/mm] * (1 - [mm]P(A))^2[/mm]
>
> Stimmen meine Lösungen (bzw. meine Lösungswege)?
Das bei d) ist richtig. Aber da könnte man als Fragesteller ja schon auchmal sich soweit aus dem Fenster lehnen und einen Kommentar wagen, dass man hier mit der Binomialverteilung rechnen muss pit p=P(A), n=5 und k=3.
Gruß, Diophant
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Hallo,
> Das Erzeugnis eines Produktionsprozesses ist von erster
> Wahl, wenn das normalverteilte Qualiätsmerkmal größer
> als 110 ist, es ist von zweiter Wahl, wenn das
> Qualitätsmerkmal zwischen 100 und 110 liegt, die
> verbleibenden Erzeugnisse bilden den Ausfall der
> Produktion. Für [mm]\mu[/mm] = 110 und [mm]\sigma[/mm] = 5 berechne man die
> Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
>
> a) A - das Erzeugnis ist erste Wahl
> b) B - das Erzeugnis ist zweite Wahl
> c) C - das Erzeugnis ist Ausfall
> d) D - von 5 Erzeugnissen sind 3 erste Wahl.
>
> Also ich hab angefangen, die Formeln für die
> Normalverteilung hierfür zu verwenden.
>
> a) P(A) = P(X [mm]\ge[/mm] 110) = 1 - P(X [mm]\le[/mm] 110) =
> 1 - [mm]\Phi(\frac{110 + 0,5 - \mu}{\sigma})[/mm] = ... = 1 -
> 0,53983
>
Wie kommst du hier auf die Idee einer Stetigkeitskorrektur? Es müsste IMO im Aufgabentext ganz dezidiert dastehen, dass dieses Qualitätsmerkmal diskret ist, bzw. sogar ganzzahlig. Das steht aber nirgends, also ist hier eine Stetigkeitskorrektur nicht nur unnötig sondern sogar falsch (-> weshalb führt man Stetigkeistkorrekturen durch?).
> Nun habe ich mich hier später gefragt: Da wir ja eh schon
> von der Mitte ausgehen (vom Erwartungswert), müsste die
> Lösung nicht 0,5 sein, da ja die Fläche vom
> Erwartungswert bis nach [mm]+\infty[/mm] ja die Hälfte bildet, also
> 0,5 ?
Die Lösung bei a) ist in der Tat 0.5.
>
> Woher weiß ich also, wann ich die Stetigkeitskorrektur
> einsetzen soll, wann nicht? Das macht mir noch zu
> schaffen.
Ja, aber das hat halt ehrlich gesagt mit Stochastik erst einmal nichts zu tun, sondern mit Integralrechnung und mit dem Unterschied diskret - stetig.
Wenn man Integrale nutzt, um irgendwelche Probleme, die bspw. auf Summen mit sehr vielen Summanden führen, zu lösen, dann setzt man ja ein Koordinatensystem mit reellen Achsen voraus, sonst gäbe es den Begriff Integral nicht. Das interessiert jetzt aber dein Problem oftmals recht wenig, es ist im Gegenteil oftmals so, dass die Variable der waagerechten Achse in Wirklichkeit diskret, genauer ganzzahlig oder sogar natürlich ist. Und jetzt kommt folgendes Problem, welches ich dir in Form von zwei Fragen verdeutlichen möchte:
- Die Höhe eines Baumes wird zu zwei unterschiedlichen Zeitpunkten gemessen. Zu Beginn sei der Baum 3,42m groß, beiu der zweiten Messung 4,75m. Um wie viel ist er gewachsen und wie hast du das berechnet?
- Du gehts vom 10. bis zum 20. eines Monats in Urlaub. Wie viele Tage bist du weg und wie hast du das berechnet?
Wenn du beide Fragen richtig beantwortest, dann sollten dir eigentlich Sinn und Zweck der Stetigkeitskorrrektur klar werden.
>
> b) P(B) = P(100 [mm]\le[/mm] X [mm]\le[/mm] 110) =
> [mm]\Phi(\frac{110 + 0,5 - \mu}{\sigma})[/mm] - [mm]\Phi(\frac{100 - 0,5 - \mu}{\sigma})[/mm]
> = ... = 0,53983 - 1 + 0.98214 = 0,52197
>
Hier steckt dann natürlich der gleiche Fehler drin.
Gruß, Diophant
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