Normalverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Mi 02.01.2013 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt die Zufallsgröße X Werte an, die in einem zum Mittlewert symmetrischen Intervall von [mm] x_1=\mu-k\sigma [/mm] bis [mm] x_2 [/mm] = [mm] \mu+k\sigma [/mm] liegen? |
Hi Leute,
ich hab mir Gedanken zur Lösung gemacht. Als erstes hab ich mir mal eine kleine Zeichnung gemacht. Mit der ich dann auf diese Gleichung gekommen bin:
[mm] $P(x_1 \leq \frac{x-\mu}{\sigma} \leq x_2)$
[/mm]
Nun hätte ich so weitergemacht: [mm] $P(x_1 \leq \frac{x-\mu}{\sigma} \leq x_2) \Leftrightarrow -2k\sigma \leq \frac{x-\mu}{\sigma} \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \geq -2k\sigma^2+\mu$
[/mm]
Wobei ich mir mittlerweile dazu nicht mehr sicher bin ob das richtig ist, da man ja eigentlich bei einer Normalverteilung diese [mm] \Phi-Funktion [/mm] bracht...
Edit:
Ich denke dieser Ansatz sollte besser sein:
[mm] $P(X\in [x_1;x_2]) [/mm] = P(X [mm] \leq x_2) [/mm] - [mm] P(X\geq x_1) [/mm] = P(X [mm] \leq x_2) [/mm] - [mm] (1-P(X\leq x_1)) [/mm] = [mm] \Phi\left(\frac{x_2-\mu}{\sigma}\right) [/mm] - [mm] \left( 1- \Phi\left(\frac{x_1-\mu}{\sigma}\right) \right) [/mm] = ... = 0$
Das Ergebnis liest sich aber komisch :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
ja, das ist richtig, Du brauchst hier die Phi-Funktion wieder, aber was sie aussagt, darüber bist Du Dir augenscheinlich immer noch nicht im Klaren. Man muss hier mit den Bezeichnungen etwas aufpassen, und so mache ich es mal ganz formell.
Zu Deiner Normalverteilung gehört eine Zufallsgröße X, die Werte annehmen kann, die mit einem kleinen x , also x, beschrieben werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass solche eine Zufallsvariable Werte annimmt, die kleiner sind als "klein x" ist
[mm] P(X \leq x) = \Phi(\bruch{x-\mu}{\sigma}) [/mm]
Aufgrund des Komplementärereignisses kommt man bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten, die größer als "klein x" sind, auf
[mm] P(X > x) = 1 - P( X \leq x) = 1 - \Phi(\bruch{x-\mu}{\sigma}) [/mm]
Wenn Du Dir nun Dein Intervall betrachtest, das Du vorgegeben hast, so suchst Du die Wahrscheinlichkeit, dass Deine Zufallsgröße X Werte zwischen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] annimmt, also
[mm] P(x_1 < X \leq x_2)= P(X \leq x_2 ) - P(X \leq x_1) = \Phi(\bruch{x_2-\mu}{\sigma})- \Phi(\bruch{x_1-\mu}{\sigma}) [/mm]
Jetzt kannst Du Deine Werte einsetzen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mi 02.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Du selbst schreibst, dass aufgrund des Komplementärereignis 1-P(...) zu notieren ist. In deiner Gleichung taucht das 1- aber nicht mehr auf...
$ [mm] P(X\in [x_1;x_2]) [/mm] = [mm] P(x_1 [/mm] < X [mm] \leq x_2) [/mm] = P(X [mm] \leq x_2) [/mm] - [mm] \underbrace{P(X\geq x_1)}_{\text{Dieser Ausdruck muss doch zu 1-P(...) werden?}} [/mm] = P(X [mm] \leq x_2) [/mm] - [mm] (1-P(X\leq x_1)) [/mm] = [mm] \Phi\left(\frac{x_2-\mu}{\sigma}\right) [/mm] - [mm] \left( 1- \Phi\left(\frac{x_1-\mu}{\sigma}\right) \right) [/mm] = ... = 0 $
Wo kommt das "1-" hin?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
das ist auch richtig für eine allgemeingültige Darstellung, passt aber bei Deiner jetzigen Aufgabe nicht zur Benutzung der Phi-Funktion. Ich habe Dir in einem kleinen Bildchen mal die beiden Flächen markiert, die zu [mm] \Phi(x_2) [/mm] bzw. [mm] \Phi(x_1) [/mm] gehören. Die Schnittmenge, die Du suchst, ist gerade die Differenz zwischen den beiden Phi-Funktionen. Dein Ansatz ist einfach verkehrt, da Du die nicht berücksichtigst, wie die Phi-Funktion definiert ist.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
VG,
Infinit
P.S.: [mm] P(X > x_2)[/mm] wäre die Fläche unter der Glockenkurve zwischen x2 und Unendlich, die interessiert hier jedoch nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
hier ist nun das Bild.
[Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Aus irgendwelchen Gründen werde ich beim Abschicken des Artikels nicht nach der Quelle zum Hochladen des Bildes gefragt. Probiere es nochmal getrennt aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Do 03.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ich war gestern leider nicht mehr online. Das Bild würde mich jedenfalls sehr interessieren, da ich mir anhand meiner Zeichnung überhaupt nicht vorstellen kann, wo ich da gescheitert bin.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
hoffentlich klappt das Hochladen diesmal.
[Dateianhang nicht öffentlich]
VG,
Infinit
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Do 03.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Danke, jetzt hab ich die Sache hier verstanden, warum ich das Komplementärereignis an dieser Stelle nicht brauche...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Do 03.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
gerne geschehen. Ich kann immer nur dazu raten, sich den Text sehr genau durchzulesen und dann mache ich mir gerne eine kleine Skizze, die mir dabei helfen soll, die Sache sauber anzugehen. Wenn dieser Schritt getan ist, ist die Mathematik meist kein so großes Problem mehr. Die mathematische Modellierung der Aufgabe ist es, die man sauber hinbekommen muss.
Viel Erfolg weiterhin,
Infinit
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