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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 So 05.02.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | | Sei [mm] X\sim N(\mu,\sigma^2). [/mm] Bestimmen Sie [mm] P(-c*\sigma\le X-\mu \le c*\sigma) [/mm] für c=1,2,3. |
Hallo! Wäre nett wenn mir hier jemand schnell weiter helfen würde:
Dichte der Normalverteilung:
[mm] f(t)=\bruch{1}{\wurzel{2\pi\sigma}}*exp(-\bruch{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})
[/mm]
Die Normalverteilung ist ja eine stetige Verteilung, also kann ich (nach Skript) setzen:
[mm] P(a\le X\le b)=\integral_{a}^{b}f(t)dt [/mm]
Mein Problem ist jetzt das [mm] \mu [/mm] in [mm] P(-c*\sigma\le X-\mu \le c*\sigma).
[/mm]
Wie wirkt sich das auf die Formel aus? Da steige ich leider nicht ganz durch.
Würde ich dem [mm] \mu [/mm] keine Beachtung schenken, bekäme ich:
[mm] P(-c*\sigma\le X\le c*\sigma)=\integral_{-c*\sigma}^{c*\sigma}\bruch{1}{\wurzel{2\pi\sigma}}*exp(-\bruch{(t-\mu)^2}{2\sigma^2})dt [/mm]
Aber wie gesagt: Es heisst ja [mm] X-\mu [/mm] und damit kann ich gerade nicht viel anfangen.
Danke schonmal! :)
Gruß
chesn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 So 05.02.2012 | | Autor: | luis52 |
> Mein Problem ist jetzt das [mm]\mu[/mm] in [mm]P(-c*\sigma\le X-\mu \le c*\sigma).[/mm]
Moin, *wo* ist das Problem?
[mm]P(-c*\sigma\le X-\mu \le c*\sigma)=P(\mu-c*\sigma\le X\le \mu+c*\sigma)[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 So 05.02.2012 | | Autor: | chesn |
Diese Umformung wohl.. das hat mich reichlich verwirrt.
Aber danke für deine Antwort, so sollte es kein Problem mehr sein. :)
Gruß
chesn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Di 07.02.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo! Habe das Ganze jetzt wie folgt gemacht:
$ [mm] P(\mu-c\cdot{}\sigma\le X\le \mu+c\cdot{}\sigma)=\integral_{\mu-c\cdot{}\sigma}^{\mu+c\cdot{}\sigma}\bruch{1}{\wurzel{2\pi\sigma}}\cdot{}exp(-\bruch{(t-\mu)^2}{2\sigma^2})dt [/mm] $
$ [mm] =\integral_{-\infty}^{\mu+c\cdot{}\sigma}\bruch{1}{\wurzel{2\pi\sigma}}\cdot{}exp(-\bruch{(t-\mu)^2}{2\sigma^2})dt-\integral_{-\infty}^{\mu-c\cdot{}\sigma}\bruch{1}{\wurzel{2\pi\sigma}}\cdot{}exp(-\bruch{(t-\mu)^2}{2\sigma^2})dt [/mm] \ \ \ [mm] (\* [/mm] ) $
Jetzt steht im Skript, dass ich die Verteilungsfunktion der Standartnormalverteilung (tabelliert) benutzen kann mit:
[mm] \integral_{-\infty}^{a}\bruch{1}{\wurzel{2\pi\sigma}}\cdot{}exp(-\bruch{(t-\mu)^2}{2\sigma^2})dt=\Phi(\bruch{a-\mu}{\sigma})
[/mm]
Also folgt für $ [mm] (\* [/mm] ) $:
[mm] =\Phi(\bruch{\mu+c*\sigma -\mu}{\sigma})-\Phi(\bruch{\mu-c*\sigma -\mu}{\sigma})=\Phi(c)-\Phi(-c)=2*\Phi(c)-1
[/mm]
Passt das alles so?
Wäre super wenn jemand sagen könnte, ob das so richtig ist..
Vielen Dank schonmal!
Gruß
chesn
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Hiho,
> Jetzt steht im Skript, dass ich die Verteilungsfunktion der
> Standartnormalverteilung (tabelliert) benutzen kann mit:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{a}\bruch{1}{\wurzel{2\pi\sigma}}\cdot{}exp(-\bruch{(t-\mu)^2}{2\sigma^2})dt=\Phi(\bruch{a-\mu}{\sigma})[/mm]
das brauchst du nicht, wenn du gleich normierst (entgegen dem Tip von luis).
Beachte:
$ [mm] P(-c\cdot{}\sigma\le X-\mu \le c\cdot{}\sigma) [/mm] = P( -c [mm] \le \bruch{X - \mu}{\sigma} \le [/mm] c) $
Nun ist [mm] $\bruch{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$ [/mm] und du kannst direkt ablesen:
$= [mm] \Phi(c) [/mm] - [mm] \Phi(-c)$
[/mm]
Und damit hast du sofort deine Lösung 
MFG,
Gono.
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