Normalverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Do 27.10.2011 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Wie kann ich eine Binomialverteilung
durch eine Normalverteilung approximieren?
Eine Maschine soll Bonbons in den vier Farben rot, gelb, gr¨un und orange so
in Plastikt¨uten einf¨ullen, dass im Mittel von jeder Farbe gleich viele Bonbons
vorkommen. Jede T¨ute enth¨alt n = 100 Bonbons. Zur Qualit¨atssicherung werden
100 T¨uten ausgez¨ahlt und es wird festgestellt, dass bei 10 T¨uten die Zahl der
roten Bonbons um mindestens 8 vom Sollwert abweicht. Beweist das, dass die
Abf¨ullmaschine ein Problem hat?
Danke, gruss Kuriger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 Fr 28.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo
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> Wie kann ich eine Binomialverteilung
> durch eine Normalverteilung approximieren?
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> Eine Maschine soll Bonbons in den vier Farben rot, gelb,
> gr¨un und orange so
> in Plastikt¨uten einf¨ullen, dass im Mittel von jeder
> Farbe gleich viele Bonbons
> vorkommen. Jede T¨ute enth¨alt n = 100 Bonbons. Zur
> Qualit¨atssicherung werden
> 100 T¨uten ausgez¨ahlt und es wird festgestellt, dass
> bei 10 T¨uten die Zahl der
> roten Bonbons um mindestens 8 vom Sollwert abweicht.
> Beweist das, dass die
> Abf¨ullmaschine ein Problem hat?
>
> Danke, gruss Kuriger
Hallo Kuriger,
die Zahl der roten Bonbons ist binomialverteilt mit n=100, p=0,25.
Der Erwartungswert für die Anzahl der roten Bonbons in einer Tüte ist 25.
Die Standardabweichung ist [mm] \sigma=\wurzel{18,75}.
[/mm]
Um deine Binomialverteilung durch eine Normalverteilung anzunähern, brauchst du eine Normalverteilung, die ebenfalls die Werte [mm] \mu=25 [/mm] und [mm] \sigma=\wurzel{18,75} [/mm] besitzt.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Die Abweichung vom Sollwer (Mittelwert) um 8, entspricht ja 1.85 * Standardabweichung ?
Nun müsste ich schauen welcher prozentuale Inhalt der Normalevrteilfläche unter halb von [mm] \mu [/mm] - [mm] 1.84*\Sigma [/mm] liegt?
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> Hallo
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> Die Abweichung vom Sollwer (Mittelwert) um 8, entspricht ja
> 1.85 * Standardabweichung ?
Ja, ungefähr.
> Nun müsste ich schauen welcher prozentuale Inhalt der
> Normalevrteilfläche unter halb von [mm]\mu[/mm] - [mm]1.84*\Sigma[/mm]
> liegt?
Da sowohl Abweichungen nach oben als auch nach unten
betrachtet werden, brauchen wir die Summe der beiden
kleinen Flächen rechts außen und links außen, also
P(|Abweichung| [mm] \ge 1.8475*\sigma)
[/mm]
$\ =\ [mm] 2*(1-\Phi(1.8475))\ \approx\ [/mm] 0.06467$
Dies ist nun aber erst die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass in einer beliebigen normalverteilt befüllten
Tüte die Anzahl der roten Bonbons um mindestens 8
vom erwarteten Mittelwert 25 abweicht.
Nun kommt die zweite Berechnung, in der man prüfen
soll, ob die Anzahl von (mindestens) 10 solchen Tüten
in einer Gesamtheit von 100 Tüten noch "normal" ist
oder nicht. Für eine solche Beurteilung muss man sich
auf ein gewisses vorgegebenes Signifikanzniveau
stützen, das jedoch in der Aufgabe nicht angegeben
ist ...
Nicht ganz klar ist, ob man in der Rechnung auch
eine sogenannte "Stetigkeitskorrektur" beachten
soll, da wir es ja nur mit ganzzahligen Anzahlen
von Bonbons und Tüten zu tun haben.
Meine Rechnung zeigt, dass dies wohl gemacht
werden sollte.
LG Al-Chw.
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> Hallo
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> Wie kann ich eine Binomialverteilung
> durch eine Normalverteilung approximieren?
>
> Eine Maschine soll Bonbons in den vier Farben rot, gelb,
> grün und orange so
> in Plastiktüten einfüllen, dass im Mittel von jeder
> Farbe gleich viele Bonbons
> vorkommen. Jede Tüte enthält n = 100 Bonbons. Zur
> Qualitätssicherung werden
> 100 Tüten ausgezählt und es wird festgestellt, dass
> bei 10 Tüten die Zahl der
> roten Bonbons um mindestens 8 vom Sollwert abweicht.
> Beweist das, dass die
> Abfüllmaschine ein Problem hat?
Die Approximation der Binomialverteilung durch eine
Normalverteilung ist möglich. Das hat Abakus schon
erklärt.
Um die vorliegende Aufgabe lösen zu können, fehlen
aber meiner Ansicht nach gewisse Angaben über die
Funktionsweise der Abfüllmaschine. Man könnte sich
ja eine Maschine vorstellen, welche so konstruiert ist,
dass sie in jede Tüte jeweils exakt 25 mal je ein
Bonbon jeder Farbe abfüllt.
Gemeint ist aber wohl eine "primitivere" Maschine, die
etwa so funktioniert: in den Eingabetrichter werden
jeweils gleich viele Bonbons jeder Farbe gefüllt. Diese
werden durch einen Rührmechanismus ähnlich wie
in einem Betonmischer gemischt und laufen dann
in 100-er Portionen in die Tüten. Dann kann man
(bei genügend guter Mischung) mit einer Binomial-
verteilung in jeder Tüte rechnen.
Eigentlich hat man es dann nicht nur mit einer,
sondern nacheinander mit 2 Binomialverteilungen
zu tun: 1.) Anzahl der roten Bonbons in einer Tüte
2.) Anzahl der Tüten mit Abweichung [mm] \ge [/mm] 8 unter 100
Tüten.
LG Al-Chw.
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