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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Mo 03.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
Die zufällige Größe X sei N(0; 1)-verteilt.
(a) Sind X und Y := |X| unkorreliert? Sind die beiden Zufallsgrößen unabhängig?
(b) Sind Y := |X| und Z := sign(X) unkorreliert? Sind Y und Z unabhängig?
Hinweis: Man beachte, dass zwei zufällige Größen X und Y dann und nur dann
unabhängig sind, wenn für alle t; s [mm] \in [/mm] R stets
P(X [mm] \le [/mm] t; Y [mm] \le [/mm] s) = P(X [mm] \le [/mm] t) * P(Y [mm] \le [/mm] s)
gilt.
Kann mir da bitte jemand einen Ansatztipp geben. Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Mo 03.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Phlipper!
> Die zufällige Größe X sei N(0; 1)-verteilt.
> (a) Sind X und Y := |X| unkorreliert?
Ja, denn
$E[XY] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \, \int\limits_{-\infty}^{\infty} x|x|\, e^{- \frac{x^2}{2}}\, [/mm] dx = 0 = 0 [mm] \cdot [/mm] E[Y] = E[X] [mm] \cdot [/mm] E[Y]$,
da sowohl die Funktion [mm] $f(x)=x\cdot [/mm] |x|$ also auch die Funktion $g(x)=x$ nullpunktsymmetrisch sind.
> Sind die beiden
> Zufallsgrößen unabhängig?
Nein, etwa wegen
[mm] $P(X<-1,Y\le [/mm] 1) = 0 [mm] \ne [/mm] P(X<-1) [mm] \cdot [/mm] P(Y [mm] \le [/mm] 1)$.
> (b) Sind Y := |X| und Z := sign(X) unkorreliert?
Ja, wegen $YZ=X$, also:
$E[YZ] = E[X] = 0 = E[Y] [mm] \cdot [/mm] 0 = E[Y] [mm] \cdot [/mm] E[Z]$,
da die beiden Funktionen $g(x)=x$ und $h(x)=sign(x)$ nullpunktsymmetrisch sind.
> Sind Y
> und Z unabhängig?
Ja (vielleicht überraschenderweise!). Versuche das bitte mal selber nachzuweisen, mit dem angegebenen Tipp.
Also: Rechne
$P(Y [mm] \le [/mm] c,Z [mm] \le [/mm] d)$
aus, mit Hilfe einer Fallunterscheidung in $c$ und $d$, und weise nach, dass dies in allen betrachteten Fällen gleich $P(Y [mm] \le [/mm] c) [mm] \cdot [/mm] P(Z [mm] \le [/mm] d)$ ist.
Viele Grüße
Stefan
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