Normalverteilung < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 So 07.12.2014 | | Autor: | elli123 |
| Aufgabe | | Männer zwischen 16 Jahren und 40 Jahren sind im Mittel 1,79 m groß bei einer Standardabweichung von 0,11 m. Ein sehr erfolgreicher Basketballspieler ist 2,14 m groß. Angenommen, in Deutschland leben 5000000 Männer zwischen 16 und 40 Jahren. Wie viele Männer in der entsprechenden Altersgruppe sind 2,14 m oder sogar noch größer? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe mich mit dieser Aufgabe verfasst und hab bis jetzt überlegt:
Integral von 0 bis 5 000 000 für die Normalverteilungsfunktion zu rechnen und dabei für den Erwartungswert 1,79m und für die Standardabweichung 0,11 einzusetzen. Dann dachte ich mir, dass ich für "x" 2,14 einsetze.. aber da steht ja mindestens 2,14 m in der Aufgabenstellung. Wenn ich für x 2,14 einsetze, komme ich auf 114840.71.. kann das hinkommen?
[mm] \integral_{0}^{5000000}{f(\bruch{1}{0,11*\wurzel{2\pi}*e^(-0,5*(2,14-1,79)/0,11)²}) dx}
[/mm]
Vielen Dank im Voraus :)
|
|
| |
|
> Männer zwischen 16 Jahren und 40 Jahren sind im Mittel
> 1,79 m groß bei einer Standardabweichung von 0,11 m. Ein
> sehr erfolgreicher Basketballspieler ist 2,14 m groß.
> Angenommen, in Deutschland leben 5000000 Männer zwischen
> 16 und 40 Jahren. Wie viele Männer in der entsprechenden
> Altersgruppe sind 2,14 m oder sogar noch größer?
> Hallo, ich habe mich mit dieser Aufgabe verfasst und hab
> bis jetzt überlegt:
>
> Integral von 0 bis 5 000 000 für die
> Normalverteilungsfunktion zu rechnen und dabei für den
> Erwartungswert 1,79m und für die Standardabweichung 0,11
> einzusetzen. Dann dachte ich mir, dass ich für "x" 2,14
> einsetze.. aber da steht ja mindestens 2,14 m in der
> Aufgabenstellung. Wenn ich für x 2,14 einsetze, komme ich
> auf 114840.71.. kann das hinkommen?
>
> [mm]\integral_{0}^{5000000}{f(\bruch{1}{0,11*\wurzel{2\pi}*e^(-0,5*(2,14-1,79)/0,11)²}) dx}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Guten Abend elli123
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
über 100'000 derartige "Riesen" ? Das kann wohl kaum stimmen.
Ferner denke ich auch nicht, dass diese Aufgabe durch Integration
gelöst werden soll, sondern eher in traditioneller Manier mittels
Standardnormalverteilungstabelle. Das Integral lässt sich ja
ohnehin nicht etwa "elementar" (mittels einer Formel für eine
Stammfunktion) berechnen.
Ich würde so vorgehen:
Die Abweichung ausgehend vom Erwartungswert 1.79m nach oben
soll mindestens 0.35m betragen, das entspricht dem 3.18 - fachen
der Standardabweichung. Nun kann man zu diesem Wert [mm] z_{min}=3.18 [/mm] aus
einer Normalverteilungstabelle ablesen, wie groß die Wahrschein-
lichkeit für einen z-Wert ist, der dieses [mm] z_{min} [/mm] noch übertrifft.
Aus dieser Wahrscheinlichkeit berechnet man dann leicht auch
die Anzahl der Individuen, die in der betrachteten Grundgesamtheit
schätzungsweise zu diesen "Riesen" gehören.
Falls du trotzdem dann noch an einer Lösung durch (numerische)
Integration interessiert bist, dann melde dich nochmals. Dein
oben angegebenes Integral enthält nämlich nur der Spur nach
gewisse formale Ähnlichkeiten mit dem wirklich gefragten Integral.
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Sa 13.05.2017 | | Autor: | Paul88 |
[mm] P(X\ge2,14)=1-P(X\le2,14)=1-\integral_{-\infty}^{2,14}{\varphi_{1.79,0.11}(x)dx}=1-\integral_{-\infty}^{2,14}{\bruch{1}{0,11*\wurzel{2\pi}}*^{-\bruch{1}{2}*(\bruch{x-1,79}{0,11})^2}dx}=1-normalcdf(0,2.14,1.79,0.11)=a
[/mm]
[mm] 5000000*a=3659,1\overline{6} \to [/mm] 3659 Männer
Ist diese Aufgabe im Zeitalter der Taschenrechner damit nicht genauer bearbeitet, wenn man sie ohne Standardnormalverteilung bearbeiten möchte?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Sa 13.05.2017 | | Autor: | Infinit |
Hallo Paul88,
der Wert ist richtig. Wenn ein TR mit der Normalverteilung umgehen kann, geht dies natürlich auch direkt. Das Ganze ist aber auch eine numerische Berechnungsmethode, da bekanntlich das Integral nicht geschlossen lösbar ist.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 So 21.05.2017 | | Autor: | Paul88 |
Hallo,
wieso verwendet man denn eher die Standardsnormalverteilung bei Problemen mit angenähert normalverteilter Zufallsgröße, als solche Aufgaben mit einer "nicht-standard-Dichtefunktion" zu lösen? Denn in einigen Mathebüchern wird, sobald es dann um solche Anwendungsaufgaben geht, plötzlich mit der Standardnormalverteilung gerechnet und nicht mehr mit normalcdf oder Ähnlichem. Das muss ja irgendwie auch einen Grund haben? Kann mir das vielleicht jemand erklären?
Danke!
Gruß Paul88
|
|
|
| |
|
Hallo,
>
> wieso verwendet man denn eher die Standardsnormalverteilung
> bei Problemen mit angenähert normalverteilter
> Zufallsgröße, als solche Aufgaben mit einer
> "nicht-standard-Dichtefunktion" zu lösen?
Dafür gibt es im wesentlichen zwei Gründe.
Zum einen besitzt die Standardnormalverteilung mit ihrer Dichtefunktion eben eine herausragende Bedeutung in der Mathematik, zum anderen kam der erste Taschenrechner zwar soweit ich weiß 1973 auf den Markt, bis es aber Rechner imt implementierter Normalverteilung gab bzw. wenigstens mit numerischer Integration, da sprechen wir so ca. von 1985. Davor war wie schon an anderer Stelle erwähnt das Arbeiten mit Tabellen für die Standardnormalverteilung und ihre Qauntilfunktion üblich. Da kann man aus praktischen Gründen nicht für jede neue Kombination [mm] (\mu,\sigma) [/mm] eine neue Tabelle erstellen.
> Denn in einigen
> Mathebüchern wird, sobald es dann um solche
> Anwendungsaufgaben geht, plötzlich mit der
> Standardnormalverteilung gerechnet und nicht mehr mit
> normalcdf
Mit was bitte? Das Kürzel normalcdf ist ein bei Taschenrechnern der beiden großen Hersteller üblicher Name für die Verteilungsfunktion einer beliebigen Normalverteilung, aber als Name oder Schreibweise hat es in der Mathematik überhaupt nicts zu suchen. Sonst würden jetzt TI, Casio&Co. uns unsere Schreibweisen diktieren. So weit kommt es noch...
> oder Ähnlichem. Das muss ja
> irgendwie auch einen
> Grund haben? Kann mir das vielleicht jemand erklären?
>
Die Mathematik hat eben auch viel mit Sinnhaftigkeit zu tun und nicht nur mit richtig oder falsch. Das hier ist ein Beispiel dafür.
Zu erklären, weshalb in der Fachliteratur fast durchgängig (in der mir vorliegenden jedenfalls) die Standardnormalverteilung einer transformierten ZV verwendet wird, das hätte zu viele Aspekte und wäre sozusagen abendfüllend.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 Mo 22.05.2017 | | Autor: | Paul88 |
Hallo,
ich glaube, meine Frage kam etwas falsch rüber. Also dass es ohne Taschenrechner sehr mühsam ist, für jede beliebige Normalverteilung Werte zu berechnen, das ist mir klar. Und dass "normalcdf" für die Verteilungsfunktion steht, auch. Ich habe es einfach nur praktischerweise als Abkürzung dafür verwendet. Dennoch ist es ja nun mal so, dass es heutzutage leistungsstarke Taschenrechner gibt und ich finde, wenn an dieser Stelle in einigen Schulbüchern plötzlich die Standardnormalverteilung vom Himmel fällt, ohne vorher thematisiert worden zu sein, dann kommt es so rüber, als wäre die Aufgabe nicht mit einer beliebigen Normalverteilung lösbar. Was sie ja aber ist, wenn auch früher sehr umständlich, so doch heutzutage sehr praktisch mithilfe eines Taschenrechners!?
Oder wieso sollte die Verwendung einer beliebigen Normalverteilung an dieser Stelle nicht mehr sinnhaft sein? DAS war eher meine Frage ;)
Danke!
|
|
|
|
