Normalverteilte ZG X² < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | | Es sei X eine N(0,1)-normalverteilte Zufallsvariable. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und die Dichte von X². |
Meine Lösung:
F(c) = P(X²<c) = [mm] P(-\wurzel{c}
= 1 - [mm] 2*P(X<-\wurzel{c}) [/mm] = 1 - 2*(1- [mm] P(X<\wurzel{c}) [/mm] = [mm] 2*P(X<\wurzel{c}) [/mm] - 1 = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{\pi}* \integral_{-\infty}^{\wurzel{c}} [/mm] {e^(-1/2x²) dx} - 1.
Zugehörige Dichtefunktion:
f(c) = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{\pi} [/mm] * e^(-1/2x²) für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
Stimmt das so ?
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Fry,
> Es sei X eine N(0,1)-normalverteilte Zufallsvariable.
> Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und die Dichte von
> X².
> Meine Lösung:
>
> F(c) = P(X²<c) = [mm]P(-\wurzel{c}
soweit ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]P(X<-\wurzel{c})[/mm] - [mm]P(X<\wurzel{c})[/mm]
Hier hat sich ein Fehler eingeschlichen. Es gilt:
$P(a [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] b)=P(X [mm] \le [/mm] b) - P(X [mm] \le [/mm] a)$
(Beachte, dass [mm] $\{X \le a \} \subset \{X \le b \}$ [/mm] für $a [mm] \le [/mm] b$.)
Auch in den weiteren Rechnungen scheinen noch kleine Fehler drinzustecken. Aber das Prinzip ist schon richtig so.
Meist kannst du in solchen Aufgaben die Verteilungsfunktion [mm] \Phi [/mm] der Standardnormalverteilung als gegeben ansehen und damit die gesuchte Verteilungsfunktion auf [mm] \Phi [/mm] zurückführen (ohne sie konkret anzugeben.)
Viele Grüße
Astris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Fry |
Worin genau liegt denn der Fehler ?
Gut, am Anfang hab ich das Vorzeichen aus Versehen vertauscht, aber danach dann müsste es wieder stimmen...
Grüße
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Fry,
> F(c) = P(X²<c) = [mm]P(-\wurzel{c}
> [mm]P(X<-\wurzel{c})[/mm] - [mm]P(X<\wurzel{c})[/mm]
den Fehler hatte ich bereits erwähnt.
> = 1 - [mm]2*P(X<-\wurzel{c})[/mm] = 1 - 2*(1- [mm]P(X<\wurzel{c})[/mm] =
> [mm]2*P(X<\wurzel{c})[/mm] - 1 = [mm]\bruch{\wurzel{2}}{\pi}* \integral_{-\infty}^{\wurzel{c}}[/mm]
> {e^(-1/2x²) dx} - 1.
Wieso steht da nicht mehr: [mm] $\bruch{1}{\wurzel{\pi}} \cdot [/mm] ...$
>
> Zugehörige Dichtefunktion:
>
> f(c) = [mm]\bruch{\wurzel{2}}{\pi}[/mm] * e^(-1/2x²) für alle x [mm]\in \IR[/mm]
Das kannst du auch nicht sagen, da du vom Ergebnis noch den Wert 1 abziehst. (siehe Mitteilung)
Du kannst also nur die Verteilungsfunktion von [mm] X^2 [/mm] auf die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung zurückführen, wie ich es dir bereits gesagt habe.
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Fry |
Hallo Astrid,
danke nochmal für deine schnelle Antwort.
>Wieso steht da nicht mehr: [mm]\bruch{1}{\wurzel{\pi}} \cdot ...[/mm]
...du hast Recht, hab ich vergessen...
> > Zugehörige Dichtefunktion:
> >
> > f(c) = [mm]\bruch{\wurzel{2}}{\pi}[/mm] * e^(-1/2x²) für alle x [mm]\in \IR[/mm]
>
> Das kannst du auch nicht sagen, da du vom Ergebnis noch den
> Wert 1 abziehst.
Ich dachte bisher,dass man aus Verteilungsfunktionen die Dichtefunktionen durch Ableiten erhält.
> Du kannst also nur die Verteilungsfunktion von [mm]X^2[/mm] auf die
> Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
> zurückführen, wie ich es dir bereits gesagt habe.
Das habe ich doch getan, sagt doch der Term [mm] 2*P(X<\wurzel{c}) [/mm] - 1
X ist doch standardnormalverteilt.
Was wäre denn richtig.
Danke für deine Hilfe.
Liebe Grüße
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 So 22.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Fry!
Astrid hat ja schon alles gesagt, aber damit die Frage auch formal beantwortet ist:
Für $c [mm] \ge [/mm] 0$ gilt:
[mm] $P(X^2 \le [/mm] c)$
$= [mm] P(-\sqrt{c} \le [/mm] X [mm] \le \sqrt{c})$
[/mm]
$= [mm] \Phi(\sqrt{c}) [/mm] - [mm] \Phi(-\sqrt{c})$
[/mm]
$= [mm] \Phi(\sqrt{c}) [/mm] - (1 - [mm] \Phi(\sqrt{c}))$
[/mm]
$= 2 [mm] \Phi(\sqrt{c})-1$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 So 22.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Fry!
Auf deine Nachfrage per PN hin (bitte in Zukunft keine fachlichen Fragen mehr per PN).
Die Dichtefunktion von [mm] $X^2$ [/mm] erhält man jetzt durch Ableiten von
[mm] $F_{X^2}(x) [/mm] = 2 [mm] \Phi(\sqrt{x}) [/mm] - 1$
unter Beachtung der Kettenregel...
Liebe Grüße
Stefan
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