Normalteiler und Homomorphismu < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich sitze jetzt seit mehreren Stunden an zwei Aufgaben und bin mittlerweile am verzweifeln. Ich dachte mir vielleicht könnte mir jemand von euch helfen?
1.) Seien N,M Normalteiler von G. Zeigen Sie
(a) der Schnitt N [mm] \cap [/mm] M ist Normalteiler von G
(b) N M = {nm|n [mm] \in [/mm] N, m [mm] \in [/mm] M} ist Normalteiler von G.
2.) Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie:
(a) Ist [mm] \varphi [/mm] : G [mm] \to [/mm] G definiert durch [mm] \varphi [/mm] (x) = x² ein
Homomorphismus, so ist G abelsch.
(b) Ist [mm] \phi [/mm] : G [mm] \to [/mm] G definiert durch [mm] \phi [/mm] (x) = x^-1 ein
Automorphismus, so ist G abelsch
Ich wär euch echt total dankbar wenn ihr mir weiterhelfen könntet...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo,
natürlich mußt du als erstes mal wissen, was sich hinter den Begriffen Normalteiler und Homomorphismus verbirgt.
> 1.) Seien N,M Normalteiler von G. Zeigen Sie
> (a) der Schnitt N [mm] \cap [/mm] M ist Normalteiler von G
Daß der Schnitt eine Untergruppe ist, weißt Du sicher längst.
Nun zeig, daß für alle g [mm] \in [/mm] G g (N [mm] \cap [/mm] M) [mm] g^{-1} [/mm] = N [mm] \cap [/mm] M ist.
> (b) N M = {nm|n [mm] \inN, [/mm] m [mm] \in [/mm] M} ist Normalteiler von
> G.
Hier ist die Hauptarbeit, zu zeigen, daß es eine Untergruppe ist. Das ist nicht selbstverständlich, denn normalerweise gilt das nur für abelsche Gruppen. Du wirst also die Normalteilereigenschaft von N und M ins Spiel bringen müssen.
Die Normalteilereigenschaft von NM purzelt ja einem ja automatisch entgegen...
>
> 2.) Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie:
> (a) Ist varphi: G [mm] \to [/mm] G definiert durch [mm] \varphi [/mm] (x)
> = x² ein
> Homomorphismus, so ist G abelsch.
Es ist [mm] \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)
[/mm]
> (b) Ist [mm]\phi[/mm] : G [mm]\to[/mm] G definiert durch [mm]\phi[/mm] (x) =
> x^-1 ein
> Automorphismus, so ist G abelsch
Dieselbe Idee wie bei a)
> Ich wär euch echt total dankbar wenn ihr mir weiterhelfen
> könntet...
Quasi gelöst, würd' ich sagen.
Gruß v. Angela
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Sa 12.11.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> Hier ist die Hauptarbeit, zu zeigen, daß es eine
> Untergruppe ist. Das ist nicht selbstverständlich, denn
> normalerweise gilt das nur für abelsche Gruppen.
Hier muss man doch einfach mal schmunzeln - klar, dass diese Aussage i.a. nur für abelsche Gruppen gilt - da sind nämlich gleich alle Untergruppen auch, hmmm, Normalteiler! 
SCNR.
SEcki
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