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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Freaky |
| Aufgabe | Sei N ein Normalteiler der Gruppe G. Zeigen Sie, dass die Abbildung
{U | U ist Untergruppe von G mit N c U} nach {V | V ist Untergruppe von G/N};
U -> U/N;
bijektiv ist. |
Hallihallo,
ich habe keine Ahnung, wie ich obige Aufgabe angehen soll. Kann man das mit dem Homomorphiesatz lösen?
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wie ich an den Beweis rangehen soll? Das einzige, was ich weiß, ist, dass ich zeigen muss, dass die Abbildung surjektiv und injektiv ist.
Liebe Grüße, Freaky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:19 Sa 18.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei N ein Normalteiler der Gruppe G. Zeigen Sie, dass die
> Abbildung
> {U | U ist Untergruppe von G mit N c U} nach {V | V ist
> Untergruppe von G/N};
> U -> U/N;
> bijektiv ist.
>
> Hallihallo,
> ich habe keine Ahnung, wie ich obige Aufgabe angehen soll.
> Kann man das mit dem Homomorphiesatz lösen?
Haengt davon ab was der Homomorphiesatz bei euch genau besagt. Manchmal enthaelt er die Aufgabenstellung z.B. so gut wie komplett. Aber das wird bei euch wohl nicht der Fall sein.
> Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wie ich an
> den Beweis rangehen soll? Das einzige, was ich weiß, ist,
> dass ich zeigen muss, dass die Abbildung surjektiv und
> injektiv ist.
Sei [mm] $\phi$ [/mm] die Abbildung $U [mm] \mapsto [/mm] U/N$.
Zeige:
a) [mm] $\phi$ [/mm] ist wohldefiniert, d.h. dass $U/N$ Untergruppe von $G/N$ ist, falls $U$ Untergruppe von $N$ ist;
b) sei $V$ eine Untergruppe von $G/N$; zeige, dass [mm] $\pi^{-1}(V)$ [/mm] eine Untergruppe von $G$ ist, die $N$ enthaelt; hier ist [mm] $\pi [/mm] : G [mm] \to [/mm] G/N$ die kanonische Projektion;
c) zeige: ist $V$ eine Untergruppe von $G/N$, so ist [mm] $\phi(\pi^{-1}(V)) [/mm] = V$;
d) zeige: ist $U$ eine Untergruppe von $G$, die $N$ enthaelt, so ist [mm] $\pi^{-1}(\phi(U)) [/mm] = U$.
Damit kannst du ziemlich schnell die Behauptung zeigen.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:43 Do 06.01.2011 | | Autor: | monom |
| Aufgabe | Sei N ein Normalteiler der Gruppe G. Zeigen Sie, dass die Abbildung
{U|U ist Untergruppe von G mit [mm] N\subseteq [/mm] U} [mm] \to [/mm] {V|V ist Untergruppe von G/N},U [mm] \mapsto [/mm] U/N, bijektiv ist. |
Zur Wohldefiniertheit:
U/N ist nicht leer, da N [mm] \subseteq [/mm] U/N
U/N [mm] \subseteq [/mm] G/N, da uN [mm] \subseteq [/mm] G/N für u [mm] \in [/mm] G
uN,u'N [mm] \subseteq [/mm] U/N für u, u' [mm] \in [/mm] G so auch (uu')N, da G abgeschlossen und N Normalteiler (die Äquivalenzkl.-Verknüpfung ist wohldefiniert)
uN [mm] \subseteq [/mm] U/N [mm] \Rightarrow[/mm] [mm] u^{-1} [/mm] N [mm] \subseteq [/mm] U/N, da Inverses von u auch in u liegt.
Reicht dies für die Wohldefiniertheit?
Was ist genau die kanonische Projektion oder Abbildung, warum heißt sie so, also was genau bedeutet kanonisch? Ist [mm] \pi [/mm] dasselbe wie [mm] \phi [/mm] nur auf die einzelnen Elemente bezogen, u aus U und Äquivalenzklassen aus U/N?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 So 06.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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