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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Fr 14.05.2010 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgenden Satz:
sei N [mm] \subset [/mm] G ein Normalteiler, [mm] G\N [/mm] ist die Menge aller Linksnebenklassen von N in G und aN ist die Linksnebenklasse von a bzgl. N
[mm] \exists! \* [/mm] auf [mm] G\N: [/mm] 1. [mm] (G\N, \*) [/mm] ist Gruppe, 2. Die kanonische surjektive Abbildung G [mm] \to G\N [/mm] mit a [mm] \mapsto [/mm] aN (=kanonische Projektion) ist ein Homomorphismus |
Hallo zusammen,
ich weiss natürlich, wie man prinzipiell zeigt, dass es sich um eine Gruppe oder einen Homomorphismus handelt. A
Aber ich habe keine Ahnung wie ich in diesem Fall ansetzen soll, weil ich nicht weiss wie die Verknüpfung zweier Nebenklassen bzw. Mengen aussehen soll.
Ich kann mir prinzipiell erstmal nur zwei Varianten vorstellen.
1. aN [mm] \* [/mm] bN = [mm] \{a \* n \* b \* n' | n,n' \in N; a,b \in G\}
[/mm]
In diesem Fall entspräche die Verknüpfung zweier Linksnebenklassen also der Menge bestehen aus den Verknüpfungen ihrer Elemente.
2. aN [mm] \* [/mm] bN = [mm] \{a \* (b \* n') | (b \* n') \in bN; n' \in N, a,b \in G \}
[/mm]
In diesem Fall würde ich die Linksnebenklassen "als Abbildungen" betrachten (geht das überhaupt?) und ihre Verknüpfung entspräche ihrer Hintereinanderausführung.
Also bevor ich weiss, wie nun die Verknüpfung zweier Linksnebenklassen tatsächlich aussieht, kann ich den Rest des Beweises gar nicht angehen.
Es wäre also super, wenn mir jmd weiterhelfen könnte.
Grüße,
Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Fr 14.05.2010 | | Autor: | oeli1985 |
ok, konnte in erfahrung bringen, dass die Verknüpfung zweier linksnebenklassen definiert ist als: aN [mm] \* [/mm] bN = abN
ich konnte auch zeigen, dass es sich bei G/N um eine gruppe handelt.
allerdings weiss ich nicht, wie ich zeigen kann, dass diese bzgl. der Verknüpfung wohldefiniert ist.
wie setzt man da an?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Für die Wohldefiniertheit musst du zeigen, dass das Ergebnis unabhängig ist von der Wahl der Vertreter der Klassen.
Ist also $aN*bN= abN$ so musst du zeigen, dass für ein [mm] $a'\in [/mm] aN$ und $b' [mm] \in [/mm] bN$ wieder $a'*b'N = abN$ ist. Das ist einfaches Nachrechnen. Man beachte, dass das letzte eine Klassengleichung ist. Das Ergebnis $a'b'N$ muss also in der gleichen Klasse $abN$ liegen, dürfen sich also um $N$ unterscheiden.
Um zu zeigen, dass die kanonische Projektion surjektiv ist, brauchst du nur zu jeder Linksnebenklasse einen Vertreter finden, der in dieser Klasse liegt. Das ist ziemlich einfach. Mit der Verknüpfung * musst du dann noch zeigen, dass die kanonische Projektion ein Homomorphismus ist. Also das
[mm] $\pi [/mm] (a [mm] \cdot [/mm] b) = [mm] \pi(a) [/mm] * [mm] \pi [/mm] (b)$ ist. Nun schau dir an, wie das [mm] $\pi$ [/mm] die Eemente von G auf ihre Linksnebenklassen abbildet, und du wirst sehen, dass diese Eigenschaft ziemlich banal ist, wenn man die Verknüpfung * auf den Nebenklassen definiert hat, wie wir es getan haben.
Gruß Micha 
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