Normalteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Mo 26.10.2009 | | Autor: | side |
| Aufgabe | | Sei [mm] (G,\*) [/mm] eine endliche Gruppe, in der jede Untergruppe ein Normalteiler ist. Zeigen sie, dass je zwei Elemente kommutieren, wenn ihr Ordnung zueinander teilerfremd ist. |
Hier genügt glaube ich eine Richtung zu zeigen, oder? Äquivalenz ist nicht gefordert.
also setze ich voraus, dass ich zwei Elemente [mm] a,b\in\; [/mm] G habe mit ord(a) und ord(b) teilerfremd.
Wie zeige ich jetzt aber, dass diese beiden kommutieren? Und wo fließt die Voraussetzung der endlichkeit der Gruppe ein und das alle UG Normalteiler sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Mo 26.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Seien [mm] $a,b\in [/mm] G$ mit teilerfremder Ordnung. Dann sind die von a bzw. b erzeugten Untergruppen [mm] $N_a$ [/mm] bzw. [mm] $N_b$ [/mm] Normalteiler und es gilt [mm] $N_a\cap N_b=\{1\}$ [/mm] (Warum?). Nun betrachte das Produkt [mm] $p:=b^{-1}aba^{-1}$. [/mm] Überlege dir nun, dass [mm] $p\in N_a\cap N_b$ [/mm] gelten muss, und damit $p=1$, was gleichbedeutend mit $ab=ba$ ist.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Di 27.10.2009 | | Autor: | side |
> Seien [mm]a,b\in G[/mm] mit teilerfremder Ordnung. Dann sind die von
> a bzw. b erzeugten Untergruppen [mm]N_a[/mm] bzw. [mm]N_b[/mm] Normalteiler
> und es gilt [mm]N_a\cap N_b=\{1\}[/mm] (Warum?).
Tja...warum? Bis hierhin ist mir dein Gedankengang klar, aber jetzt... ich denke mal, der Triviale Schnitt kommt daher, dass a und b teilerfremd sind, oder? aber wie genau hängt das zusammen?
> Nun betrachte das Produkt [mm]p:=b^{-1}aba^{-1}[/mm]. Überlege dir nun, dass [mm]p\in N_a\cap N_b[/mm] gelten muss,
Ok. Reicht es zu sagen, dass das Produkt ein Vielfaches von a bzw. ein Vielfaches von b ist?
> und damit [mm]p=1[/mm], was gleichbedeutend mit [mm]ab=ba[/mm]
> ist.
das ist mir wieder klar... einfach von links bzw. rechts entsprechendes multiplizieren...
> Gruß, Robert
Gruß Simon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Simon!
> > Seien [mm]a,b\in G[/mm] mit teilerfremder Ordnung. Dann sind die von
> > a bzw. b erzeugten Untergruppen [mm]N_a[/mm] bzw. [mm]N_b[/mm] Normalteiler
> > und es gilt [mm]N_a\cap N_b=\{1\}[/mm] (Warum?).
>
> Tja...warum? Bis hierhin ist mir dein Gedankengang klar,
> aber jetzt... ich denke mal, der Triviale Schnitt kommt
> daher, dass a und b teilerfremd sind, oder? aber wie genau
> hängt das zusammen?
Wenn schon haben $a$ und $b$ teilerfremde Ordnungen.
Nimm dir doch mal ein Element aus [mm] $N_a \cap N_b$. [/mm] Was kannst du ueber die Ordnung des Elementes sagen (denk an den Satz von Lagrange)?
> > Nun betrachte das Produkt [mm]p:=b^{-1}aba^{-1}[/mm]. Überlege
> > dir nun, dass [mm]p\in N_a\cap N_b[/mm] gelten muss,
>
> Ok. Reicht es zu sagen, dass das Produkt ein Vielfaches
> von a bzw. ein Vielfaches von b ist?
Nein. (Das ist auch schlichtweg falsch.)
Hier brauchst du, dass [mm] $N_a$ [/mm] und [mm] $N_b$ [/mm] Normalteiler sind.
> > und damit [mm]p=1[/mm], was gleichbedeutend mit [mm]ab=ba[/mm]
> > ist.
>
> das ist mir wieder klar... einfach von links bzw. rechts
> entsprechendes multiplizieren...
Ja.
LG Felix
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