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| Aufgabe | Sei X eine Untergruppe von G, Y ein maximaler Normalteiler von X und N ein Normalteiler von G. Zeigen Sie:
Es gilt XN = YN genau dann, wenn [mm] X$\cap$N$\neq$Y$\cap$N. [/mm] |
Hallo, ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
ich bin noch ziemlich ratlos und bin für Tipps aller Art dankbar.
Wenn die Schnitte ungleich sind, muss es ja Elemente [mm] $x\in [/mm] X,N$ geben mit $x [mm] \notin [/mm] Y$, da [mm] $Y\subset [/mm] X$. Diese x sind aber auch in YN, für [mm] 1_{Y}*x [/mm] damit gilt doch XN [mm] $\subset$ [/mm] YN, die andere Inklusion ist klar.
Nur, wie gehe ich jetzt an die Umkehrung?
Danke für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei X eine Untergruppe von G, Y ein maximaler Normalteiler
> von X und N ein Normalteiler von G. Zeigen Sie:
> Es gilt XN = YN genau dann, wenn X[mm]\cap[/mm]N[mm]\neq[/mm]Y[mm]\cap[/mm]N.
> Hallo, ich habe diese Frage in keinem anderen Forum
> gestellt.
>
> ich bin noch ziemlich ratlos und bin für Tipps aller Art
> dankbar.
>
> Wenn die Schnitte ungleich sind, muss es ja Elemente [mm]x\in X,N[/mm]
> geben mit [mm]x \notin Y[/mm], da [mm]Y\subset X[/mm]. Diese x sind aber auch
> in YN, für [mm]1_{Y}*x[/mm] damit gilt doch XN [mm]\subset[/mm] YN,
Wieso gilt dann $X N [mm] \subset [/mm] Y N$? Erstmal hast du doch nur $x [mm] \in [/mm] Y N$ bzw. $x N [mm] \subset [/mm] Y N$.
> die andere Inklusion ist klar.
Ja.
> Nur, wie gehe ich jetzt an die Umkehrung?
Vielleicht hilft dir das hier ja weiter...
Nimm mal den 1. Isomorphiesatz. Demnach gilt $X / (X [mm] \cap [/mm] N) [mm] \cong [/mm] X N / N$ und $Y / (Y [mm] \cap [/mm] N) [mm] \cong [/mm] Y N / N$. Nun ist $Y N [mm] \subseteq [/mm] X N$ ein Normalteiler, womit auch $Y N / N$ ein Normalteiler von $X N / N$ ist. Weiterhin gilt $X N = Y N$ genau dann, wenn $Y N / N = X N / N$ ist.
Nun schau dir mal die Isomorphismen [mm] $\varphi [/mm] : X / (X [mm] \cap [/mm] N) [mm] \to [/mm] X N / N$ und [mm] $\psi [/mm] : Y / (Y [mm] \cap [/mm] N) [mm] \to [/mm] Y N / N$ mal genauer an. Es ist [mm] $\varphi^{-1}(Y [/mm] N / N)$ ein Normalteiler in $X / (X [mm] \cap [/mm] N)$, der isomorph zu $Y / (Y [mm] \cap [/mm] N)$ ist, und du willst wissen, wann [mm] $\varphi^{-1}(Y [/mm] N / N) = X / (X [mm] \cap [/mm] N)$ ist (dies ist nach dem gerade genau dann der Fall, wenn $X N = Y N$ ist).
Kannst du damit vielleicht etwas anfangen?
LG Felix
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Hi, danke für die Antwort, aber ich verstehe nicht warum gelten soll: $ Y / (Y [mm] \cap [/mm] N) [mm] \cong [/mm] Y N / N $, Y ist doch Normalteiler in X nicht in G.
Warum gilt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hi, danke für die Antwort, aber ich verstehe nicht warum
> gelten soll: [mm]Y / (Y \cap N) \cong Y N / N [/mm], Y ist doch
> Normalteiler in X nicht in G.
> Warum gilt das?
Weil der ![[]](/images/popup.gif) 1. Isomorphiesatz das so sagt.
LG Felix
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