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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 So 20.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe; U [mm] \subset [/mm] G und V [mm] \subset [/mm] G seine Untergruppen. Zeigen sie, dass im Allgemeinen die Menge
UV := { uv | u [mm] \in [/mm] U und v [mm] \in [/mm] V }
keine Untergruppe von G ist.
Beweisen sie, wenn aber U (oder V) ein Normalteiler von G ist, dann ist UV [mm] \subset [/mm] G eine Untergruppe von G. |
Hallo,
also um den ersten Teil zu zeigen, hab ich mir einfach ein Gegenbeispiel überlegt und zwar:
Sei G = [mm] Sym_3 [/mm] . U= {1, (1 2)} und V = {1, (1 3)} sind Untergruppen von G.
Dann gilt:
UV = {1, (1 2), (1 3), (1 3 2)}
Diese ist jedoch keine Untergruppe von [mm] Sym_3, [/mm] da die Abgeschlossenheit nicht gilt,
z.B. (1 3 2), (1 2) [mm] \in [/mm] UV, aber (1 3 2)(1 2)=(2 3) [mm] \notin [/mm] UV.
Um den zweiten Teil zu beweisen hab ich mal so angefangen:
Behauptung: Gilt gU = Ug oder gV = Vg für alle g [mm] \in [/mm] G, dann ist auch UV := { uv | u [mm] \in [/mm] U und v [mm] \in [/mm] V } eine Unterggruppe von G.
gU = Ug / * [mm] g^{-1}
[/mm]
[mm] gUg^{-1} [/mm] = [mm] Ugg^{-1}
[/mm]
[mm] gUg^{-1} [/mm] = U ; analog [mm] gVg^{-1} [/mm] = V
also ist UV = [mm] gug^{-1}gvg^{-1} [/mm] = [mm] guvg^{-1} [/mm] = [mm] gUVg^{-1}
[/mm]
=> UV = [mm] gUVg^{-1} [/mm] / *g
=> UVg = [mm] gUVg^{-1}g
[/mm]
=> UVg = gUV
nur hab ich damit bewiesen, dass UV auch eine Untergruppe von G ist? wohl eher nich so oder?
kann mir da eventuell jemand noch nen Tipp geben?
schonmal Danke im Voraus!
Gruß Maren
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Hi Maren!
> also um den ersten Teil zu zeigen, hab ich mir einfach ein
> Gegenbeispiel überlegt und zwar:
> [...]
Okay.
> Um den zweiten Teil zu beweisen hab ich mal so angefangen:
Beachte, daß die Aufgabe lautet, daß mindestens eine der Mengen U,V diese Eigenschaft hat. Es kann eben auch nur U oder nur V sein.
> also ist UV = [mm]gug^{-1}gvg^{-1}[/mm] = [mm]guvg^{-1}[/mm] = [mm]gUVg^{-1}[/mm]
> => UV = [mm]gUVg^{-1}[/mm] / *g
> => UVg = [mm]gUVg^{-1}g[/mm]
> => UVg = gUV
>
> nur hab ich damit bewiesen, dass UV auch eine Untergruppe
> von G ist? wohl eher nich so oder?
Nö. Würde ich so nicht sehen. Eigentlich zeigt man das mit [mm]a,b \in UV \Rightarrow ab^{-1} \in UV[/mm].
LG
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Mo 21.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
> Nö. Würde ich so nicht sehen. Eigentlich zeigt man das mit
> [mm]a,b \in UV \Rightarrow ab^{-1} \in UV[/mm].
>
warum muss ich denn zeigen, dass [mm] ab^{-1} \in [/mm] UV ist? müsste ich nich eigentlich alle Untergruppenkriterien dann zeigen?
hab dir ma geglaubt und das probiert zu zeigen, aber irgendwie klappt das noch nich so ganz, also ich hab angefangen:
Sei U [mm] \subset [/mm] G Normalteiler von G, dann gilt gU=Ug [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G.
zu zeigen: a,b [mm] \in [/mm] UV => [mm] ab^{-1} \in [/mm] UV.
es ist a = [mm] (gu_1g^{-1})v_1 [/mm] (da für alle u : u= [mm] gug^{-1} [/mm] )
und b = [mm] gu_2g^{-1}v_2, [/mm] da U und V Untergruppen sind, gilt [mm] b^{-1} [/mm] = [mm] ((gu_2g^{-1})v_2)^{-1} [/mm] = [mm] {v_2}^{-1}(gu_2g^{-1})^{-1}
[/mm]
also ist [mm] ab^{-1} [/mm] = [mm] (gu_1g^{-1})v_1{v_2}^{-1}(gu_2g^{-1})^{-1}
[/mm]
jetzt kann ich ja sagen, dass [mm] v_1{v_2}^{-1} \in [/mm] V ist, nur weiß ich nicht, wie ich zeige, dass der Rest in U liegt..
sind das denn die richtigen Ansätze?
Lieber Gruß
Maren
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> warum muss ich denn zeigen, dass [mm]ab^{-1} \in[/mm] UV ist? müsste
> ich nich eigentlich alle Untergruppenkriterien dann
> zeigen?
Die Untergruppenaxiome sind äquivalent zu dieser Aussage.
> also ist [mm]ab^{-1}[/mm] = [mm](gu_1g^{-1})v_1{v_2}^{-1}(gu_2g^{-1})^{-1}[/mm]
Weiter ausrechnen:
[mm](gu_1g^{-1})v_1{v_2}^{-1}(gu_2g^{-1})^{-1}[/mm]
[mm]= gu_1g^{-1}v_1{v_2}^{-1}gu_2^{-1}g^{-1}[/mm]
[mm]= gg^{-1}\underbrace{u_1u_2^{-1}}_{=:u'}\underbrace{v_1{v_2}^{-1}}_{=:v'}gg^{-1}[/mm]
[mm]= u'v' \in UV[/mm]
Den Übergang zur dritten Zeile der Gleichung kann man machen, weil man weiß, daß U Normalteiler ist, die Elemente von U kommutieren mit allen anderen von G, also insbesondere mit denen von V.
LG
Karsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mo 21.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
ui, vielen vieln Dank für die schnelle Antwort! :)
Lieber Gruß Maren
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