Normalteiler < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Mo 25.09.2006 | | Autor: | Riley |
HI !
Im Bosch ist ja definiert, dass eine Untergruppe H aus G Normalteiler von G heißt, wenn die zugehörigen Links-und Rechtsnebenklassen übereinstimmen.
In dem Buch von Michael Artin ist eine Untergruppe N von G als Normalteiler definiert, wenn für jedes a aus N und jedes b aus G das Konjugierte [mm] bab^{-1} [/mm] von a unter b in N liegt.
Kann man dann sagen, dass wenn von einer Untergruppe die zugehörigen nebenklassen übereinstimmen, das Konjugierte (wie oben) in der Untergruppe liegt? würde diese äquivalenz stimmen?
viele grüße
riley
|
|
| |
|
Hallo Riley,
> Im Bosch ist ja definiert, dass eine Untergruppe H aus G
> Normalteiler von G heißt, wenn die zugehörigen Links-und
> Rechtsnebenklassen übereinstimmen.
> In dem Buch von Michael Artin ist eine Untergruppe N von G
> als Normalteiler definiert, wenn für jedes a aus N und
> jedes b aus G das Konjugierte [mm]bab^{-1}[/mm] von a unter b in N
> liegt.
> Kann man dann sagen, dass wenn von einer Untergruppe die
> zugehörigen nebenklassen übereinstimmen, das Konjugierte
> (wie oben) in der Untergruppe liegt? würde diese äquivalenz
> stimmen?
Ja, wenn Du mit dem "Übereinstimmen der zugehörigen Nebenklassen" meinst, dass die Linksnebenklassen mit den Rechtsnebenklassen übereinstimmen, dann sind Deine beiden Bedingungen äquivalent:
[mm]\begin{array}{llll}
\mbox{ $N$ Normatteiler in $G$ } & :\gdw & aN=Na & \forall a\in G \\
& :\gdw & aNa^{-1}=N & \forall a\in G \\
& :\gdw & aNa^{-1}\subset N & \forall a\in G \\
& :\gdw & ana^{-1}\in N & \forall a\in G, \forall n\in N\end{array}[/mm]
(Deine beiden Bedingungen findest Du in der ersten und letzten Zeile  )
Gruß, Frusciante
|
|
|
|
