Normalteiler < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Johman |
Hi ich bins mal wieder :D
habe auch schon wieder neue Fragen:
die nebenklassen sind doch definiert als die 'dranmultiplizierten' elemente einer gruppe G an eine untergruppe von G. Normalteiler sind genau die Untergruppen von G, die abelsch sind,also für die die links= die rechtsnebenklassen sind. und die nebenklassen definieren eine Äquivalenzrelation. 2 elemente sind also äquivalent, wenn es die gleichen nebenklassen elemente der gruppe G sind. die äquivalenzklassen bilden partitionen auf g.
und zu was dienen Die normalteiler in der algebra ausser zur definiton einer multiplikation auf der quotientengruppe (wodurch die quotientengruppe erst zu einer gruppe wird) mit dem normalteiler alseinselemnt und kern.und was für normalteiler gibt es noch ausser kernen von abbildungen?(sind denn nicht teilmengen von abelschen gruppen alles normalteiler?)
so desweiteren kommt man ja nun über die definition der quotientengruppe zu den homomorphiesätzen, aber was besagen die inhaltlich ausser den urhomomorphismus durch den quotientenhomomorphismus zu 'umgehen'?
Gruss und dankeschön johannes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Grüße!
Ich werde mal versuchen, auf diesen Absatz Bezug zu nehmen:
> und zu was dienen Die normalteiler in der algebra ausser
> zur definiton einer multiplikation auf der quotientengruppe
> (wodurch die quotientengruppe erst zu einer gruppe wird)
> mit dem normalteiler alseinselemnt und kern.und was für
> normalteiler gibt es noch ausser kernen von
> abbildungen?(sind denn nicht teilmengen von abelschen
> gruppen alles normalteiler?)
Der wichtigste Sinn & Zweck von Normalteilern in Gruppen ist wie Du gesagt hast eine Gruppenstruktur auf der Quotientengruppe zu erhalten. Das ist in vielen Fällen immens wichtig! Die Quotientenkonstruktion erlaubt oft einen Abstieg, in dem Sinn, dass das neu erhaltene Objekt "kleiner" ist als das, von dem man ausging (mengentheoretisch ist das auch so, es gibt ja eine Surjektion in die Quotientengruppe). Bei endlichen Gruppen kann man so oft eine Induktion über die Anzahl der Elemente machen.
Außerdem kann man mit einer solchen Konstruktion Teile einer Gruppe entfernen, die einen "stören". Man hat eine nicht-abelsche Gruppe? Kein Problem, man dividiere den Kommutator heraus! Dabei geht natürlich Information verloren, aber in vielen Fällen ist es sehr nützlich.
Zur Frage mit den Kernen: klar, jeder Kern ist Normalteiler - umgekehrt ist jeder Normalteiler aber auch ein Kern, denn die (kanonische) surjektive Abbildung auf die Quotientengruppe hat ja gerade den Normalteiler als Kern! Man kann also gegeben einen Normalteiler $N [mm] \subseteq [/mm] G$ ihn als Kern der Abbildung [mm] $\kappa [/mm] : G [mm] \to [/mm] G / N $ auffassen.
Und schließlich im abelschen Fall: nicht jede TEILMENGE ist Normalteiler, sondern jede UNTERGRUPPE. Dass ein Normalteiler immer eine Untergruppe sein soll ist ja quasi Definition - und die weitere Bedingung ist in einer abelschen Gruppe stets erfüllt. Daraus folgt, dass man in einer abelschen Gruppe jede Untergruppe loswird - ein Beispiel ist die Quotientenkonstruktion in Vektorräumen. Dort kann man den Quotienten nach jedem Untervektorraum bilden, denn dieser ist ja eine Untergruppe der (abelschen) additiven Gruppe des Vektorraumes. In diesem Fall überträgt sich die Skalarmultiplikation außerdem.
> so desweiteren kommt man ja nun über die definition der
> quotientengruppe zu den homomorphiesätzen, aber was besagen
> die inhaltlich ausser den urhomomorphismus durch den
> quotientenhomomorphismus zu 'umgehen'?
Wichtig ist, dass einem diese Sätze in bestimmten Situationen Isomorphismen liefern, an denen man ja oft Interesse hat - in den meisten Fällen interessiert man sich ja nicht für eine bestimmte Gruppe sondern für eine ganze Klasse von Gruppen und fragt sich, wann zwei solche isomorph sind. Diese Sätze erleichtern die Klassifikation ganz erheblich.
Man weiß z.B. auch, dass jede Gruppe Quotient einer freien Gruppe ist und das spielt auch oft in Anwendungen eine Rolle.
Wenn Du noch Fragen hast - immer frei raus! 
Lars
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