Normalformsymmetrischer Endomo < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Di 26.06.2007 | | Autor: | stefam |
| Aufgabe | Normalform schiefsymmetrischer Endomorphismen. Sei (V, h , i) n-dimensionaler eukl.VR., 1 ¡Â n < ¡Ä. L ¡ô End(V ) hei©¬t schiefsymmetrisch ¢¢ L∗ = −L. Sei L ¡ô End(V )
schiefsymmetrisch. Zeigen Sie:
[mm] L^2 [/mm] ist selbstadjungiert und alle Eigenwerte von [mm] L^2 [/mm] sind nichtpositiv.
Ist v ¡ô V und L2(v) = 0, so folgt L(v) = 0. |
Hallo,
ich bin neu hier im Forum.
Bei der Aufgabe komme ich nicht weiter.
Kann ich daraus schliessen, dass alle EW nicht positiv sind, dass L negativ semidefinit ist?
Wenn ja, wie kann ich es benutzen?
Viele Grü©¬e
stefam
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> Normalform schiefsymmetrischer Endomorphismen. Sei (V, h ,
> i) n-dimensionaler eukl.VR., 1 ¡Â n < ¡Ä. L ¡ô End(V )
> hei©¬t schiefsymmetrisch ¢¢ L∗ = −L. Sei L ¡ô
> End(V )
> schiefsymmetrisch. Zeigen Sie:
> [mm]L^2[/mm] ist selbstadjungiert und alle Eigenwerte von [mm]L^2[/mm] sind
> nichtpositiv.
> Ist v ¡ô V und L2(v) = 0, so folgt L(v) = 0.
> Hallo,
> ich bin neu hier im Forum.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Leider ist Deine Aufgabe schlecht zu lesen.
Du hast vor dem Absenden von Posts die Möglichkeit, Dir durch Klick auf den unterhalb des Eingabefensters befindlichen "Vorschau"-Button den Text vor dem Absenden anzuschauen und ggf. zu bearbeiten.
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> Bei der Aufgabe komme ich nicht weiter.
Zunächst einmal geht es ja darum, daß Du zeigst, daß [mm] L^2 [/mm] selbstadjungiert ist, d.h.
[mm] L^2=(L^2)^t.
[/mm]
Berechne hierfür kurzerhand [mm] (L^2)^t [/mm] unter Verwendung der Voraussetzung "schiefsymmetrisch", d.h. [mm] L^t=-L.
[/mm]
> Kann ich daraus schliessen, dass alle EW nicht positiv
> sind, dass L negativ semidefinit ist?
Daß alle EW nicht positiv sind, willst Du ja erst zeigen.
Hierfür kannst Du in der Tat zeigen, daß [mm] L^2 [/mm] negativ semi-definit ist. [mm] L^2 [/mm] wohlgemerkt, nicht L, wie Du schreibst.
Hieraus folgt dann die Nichtpositivität der Eigenwerte.
Berechne für die neg. Semi-Definitheit f.a. x
x^tL^2x.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Mi 27.06.2007 | | Autor: | stefam |
Oh, Danke.
Werde beim nächsten mal auf Lesbarkeit achten, sorry.
Ich stehe voll auf dem Schlauch.
Und zwar hänge ich schon bei der Selbstadjungiertheit.
Ich weiß nicht, wo ich da ansetzen soll.
Muss ich das auf ein v anwenden?
Viele Grüße,
stefam
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> Und zwar hänge ich schon bei der Selbstadjungiertheit.
> Ich weiß nicht, wo ich da ansetzen soll.
> Muss ich das auf ein v anwenden?
Nein, man braucht keinen einzigen neuen Buchstaben!
[mm] (L^2)^t=(LL)^t=...
[/mm]
Du mußt Dich an dieser Stelle nun besinnen (oder nachschlagen) wie das mit dem Transponierten des Produktes zweier Matrizen geht. Das ist der Haupt"trick". Danach dann die Schiefsymmetrie verwenden.
Gruß v. Angela
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