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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Fr 18.01.2013 | | Autor: | frieda84 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Normalform der Kurve:
[mm] $5x^2+2xy+5y^2-40x+64=0$
[/mm]
Um was für eine Kurve handelt es sich? |
Hallo, ich bin mir nicht sicher, wie ich das mache und vor allem wie ich mein Ergebnis nachprüfen kann.
Die Allgemeine Gleichung ist ja wie folgt:
[mm] $x^t*A*x+2*a^tx+a_{00}=0$
[/mm]
Wobei [mm] $a^t$ [/mm] ja anscheinend [mm] $\vektor{-20 \\ 0}$
[/mm]
[mm] $a_{00}=64$
[/mm]
und [mm] $A=\pmat{ 5 & 1 \\ 1 & 5 }$
[/mm]
die Eigenwerte sind dann ja:
[mm] $det(A-\lambda [/mm] E)=0$
[mm] $\lambda^2-10\lambda+24=0$
[/mm]
[mm] $\lambda_1=6$
[/mm]
[mm] $\lambda_2=4$
[/mm]
Jeweils die Eigenwerte eingesetzt ergibt die Eigenvektoren:
(1,1) und (-1,1)
also ist [mm] $S=\frac{1}{\sqrt{2}}\pmat{ -1 & 1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
Dann folgt aus der obigen Gleichung:
[mm] $6x_1^2+4x_2^2+2b^ty+a_{00}=0$
[/mm]
[mm] $b^t=a^tS$
[/mm]
[mm] $=(\vektor{-20 \\ 0})^t*\frac{1}{\wurzel{2}} [/mm] * [mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 1 & 1 }=\vektor{20 \\ -20}^t*\frac{1}{\wurzel{2}}$
[/mm]
die quadratische Ergänzung liefert zum Eigenwert [mm] $\lambda_1=6$
[/mm]
[mm] $6y_1+2*\frac{20}{\sqrt{2}}y_1=6*(y_1+\frac{20}{6*\sqrt{2}})^2-\frac{100}{3}$
[/mm]
wobei [mm] $y_1+\frac{20}{6*\sqrt{2}}=z_1$
[/mm]
und zum Eigenwert [mm] $\lambda_2=4$
[/mm]
[mm] $4y_1^2+2*\frac{-20}{\sqrt{2}}y_2=4*(y_2-\frac{5}{\sqrt{2}})^2-50$
[/mm]
mit [mm] $y_2-\frac{5}{\sqrt{2}}=z_2$
[/mm]
Also habe ich dann für die Normalform:
[mm] $6z_1^2+4z_2^2-\frac{58}{3}$
[/mm]
Ich hoffe da kann jemand mal einen Blick drüber werfen :)
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Hallo frieda84,
> Bestimmen Sie die Normalform der Kurve:
> [mm]5x^2+2xy+5y^2-40x+64=0[/mm]
> Um was für eine Kurve handelt es sich?
> Hallo, ich bin mir nicht sicher, wie ich das mache und vor
> allem wie ich mein Ergebnis nachprüfen kann.
>
> Die Allgemeine Gleichung ist ja wie folgt:
> [mm]x^t*A*x+2*a^tx+a_{00}=0[/mm]
>
> Wobei [mm]a^t[/mm] ja anscheinend [mm]\vektor{-20 \\ 0}[/mm]
> [mm]a_{00}=64[/mm]
> und [mm]A=\pmat{ 5 & 1 \\ 1 & 5 }[/mm]
>
> die Eigenwerte sind dann ja:
> [mm]det(A-\lambda E)=0[/mm]
> [mm]\lambda^2-10\lambda+24=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_1=6[/mm]
> [mm]\lambda_2=4[/mm]
>
> Jeweils die Eigenwerte eingesetzt ergibt die
> Eigenvektoren:
> (1,1) und (-1,1)
>
> also ist [mm]$S=\frac{1}{\sqrt{2}}\pmat{ -1 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
> Dann folgt aus der obigen Gleichung:
> [mm]6x_1^2+4x_2^2+2b^ty+a_{00}=0[/mm]
> [mm]b^t=a^tS[/mm]
> [mm]=(\vektor{-20 \\ 0})^t*\frac{1}{\wurzel{2}} * \pmat{ -1 & 1 \\ 1 & 1 }=\vektor{20 \\ -20}^t*\frac{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> die quadratische Ergänzung liefert zum Eigenwert
> [mm]\lambda_1=6[/mm]
>
> [mm]6y_1+2*\frac{20}{\sqrt{2}}y_1=6*(y_1+\frac{20}{6*\sqrt{2}})^2-\frac{100}{3}[/mm]
> wobei [mm]y_1+\frac{20}{6*\sqrt{2}}=z_1[/mm]
>
> und zum Eigenwert [mm]\lambda_2=4[/mm]
>
> [mm]4y_1^2+2*\frac{-20}{\sqrt{2}}y_2=4*(y_2-\frac{5}{\sqrt{2}})^2-50[/mm]
> mit [mm]y_2-\frac{5}{\sqrt{2}}=z_2[/mm]
>
>
> Also habe ich dann für die Normalform:
> [mm]6z_1^2+4z_2^2-\frac{58}{3}[/mm]
>
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich hoffe da kann jemand mal einen Blick drüber werfen :)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Fr 18.01.2013 | | Autor: | frieda84 |
> Hallo frieda84,
>
> > Bestimmen Sie die Normalform der Kurve:
> > [mm]5x^2+2xy+5y^2-40x+64=0[/mm]
> > Um was für eine Kurve handelt es sich?
> > Hallo, ich bin mir nicht sicher, wie ich das mache und
> vor
> > allem wie ich mein Ergebnis nachprüfen kann.
> >
> > Die Allgemeine Gleichung ist ja wie folgt:
> > [mm]x^t*A*x+2*a^tx+a_{00}=0[/mm]
> >
> > Wobei [mm]a^t[/mm] ja anscheinend [mm]\vektor{-20 \\ 0}[/mm]
> > [mm]a_{00}=64[/mm]
> > und [mm]A=\pmat{ 5 & 1 \\ 1 & 5 }[/mm]
> >
> > die Eigenwerte sind dann ja:
> > [mm]det(A-\lambda E)=0[/mm]
> > [mm]\lambda^2-10\lambda+24=0[/mm]
> >
> > [mm]\lambda_1=6[/mm]
> > [mm]\lambda_2=4[/mm]
> >
> > Jeweils die Eigenwerte eingesetzt ergibt die
> > Eigenvektoren:
> > (1,1) und (-1,1)
> >
> > also ist [mm]$S=\frac{1}{\sqrt{2}}\pmat{ -1 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
> >
>
> > Dann folgt aus der obigen Gleichung:
> > [mm]6x_1^2+4x_2^2+2b^ty+a_{00}=0[/mm]
> > [mm]b^t=a^tS[/mm]
> > [mm]=(\vektor{-20 \\ 0})^t*\frac{1}{\wurzel{2}} * \pmat{ -1 & 1 \\ 1 & 1 }=\vektor{20 \\ -20}^t*\frac{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> >
> > die quadratische Ergänzung liefert zum Eigenwert
> > [mm]\lambda_1=6[/mm]
> >
> >
> [mm]6y_1+2*\frac{20}{\sqrt{2}}y_1=6*(y_1+\frac{20}{6*\sqrt{2}})^2-\frac{100}{3}[/mm]
> > wobei [mm]y_1+\frac{20}{6*\sqrt{2}}=z_1[/mm]
> >
> > und zum Eigenwert [mm]\lambda_2=4[/mm]
> >
> >
> [mm]4y_1^2+2*\frac{-20}{\sqrt{2}}y_2=4*(y_2-\frac{5}{\sqrt{2}})^2-50[/mm]
> > mit [mm]y_2-\frac{5}{\sqrt{2}}=z_2[/mm]
> >
> >
> > Also habe ich dann für die Normalform:
> > [mm]6z_1^2+4z_2^2-\frac{58}{3}[/mm]
> >
>
>
> Das ist richtig.
>
>
> > Ich hoffe da kann jemand mal einen Blick drüber werfen :)
>
>
> Gruss
> MathePower
Danke :)
kann man das denn irgendwie leicht nachprüfen ob man dort richtig gerechnet hat?
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Hallo frieda84,
> > Hallo frieda84,
> >
> > > Bestimmen Sie die Normalform der Kurve:
> > > [mm]5x^2+2xy+5y^2-40x+64=0[/mm]
> > > Um was für eine Kurve handelt es sich?
> > > Hallo, ich bin mir nicht sicher, wie ich das mache
> und
> > vor
> > > allem wie ich mein Ergebnis nachprüfen kann.
> > >
> > > Die Allgemeine Gleichung ist ja wie folgt:
> > > [mm]x^t*A*x+2*a^tx+a_{00}=0[/mm]
> > >
> > > Wobei [mm]a^t[/mm] ja anscheinend [mm]\vektor{-20 \\ 0}[/mm]
> > >
> [mm]a_{00}=64[/mm]
> > > und [mm]A=\pmat{ 5 & 1 \\ 1 & 5 }[/mm]
> > >
> > > die Eigenwerte sind dann ja:
> > > [mm]det(A-\lambda E)=0[/mm]
> > > [mm]\lambda^2-10\lambda+24=0[/mm]
> > >
> > > [mm]\lambda_1=6[/mm]
> > > [mm]\lambda_2=4[/mm]
> > >
> > > Jeweils die Eigenwerte eingesetzt ergibt die
> > > Eigenvektoren:
> > > (1,1) und (-1,1)
> > >
> > > also ist [mm]$S=\frac{1}{\sqrt{2}}\pmat{ -1 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
> > >
> >
> > > Dann folgt aus der obigen Gleichung:
> > > [mm]6x_1^2+4x_2^2+2b^ty+a_{00}=0[/mm]
> > > [mm]b^t=a^tS[/mm]
> > > [mm]=(\vektor{-20 \\ 0})^t*\frac{1}{\wurzel{2}} * \pmat{ -1 & 1 \\ 1 & 1 }=\vektor{20 \\ -20}^t*\frac{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > die quadratische Ergänzung liefert zum Eigenwert
> > > [mm]\lambda_1=6[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]6y_1+2*\frac{20}{\sqrt{2}}y_1=6*(y_1+\frac{20}{6*\sqrt{2}})^2-\frac{100}{3}[/mm]
> > > wobei [mm]y_1+\frac{20}{6*\sqrt{2}}=z_1[/mm]
> > >
> > > und zum Eigenwert [mm]\lambda_2=4[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]4y_1^2+2*\frac{-20}{\sqrt{2}}y_2=4*(y_2-\frac{5}{\sqrt{2}})^2-50[/mm]
> > > mit [mm]y_2-\frac{5}{\sqrt{2}}=z_2[/mm]
> > >
> > >
> > > Also habe ich dann für die Normalform:
> > > [mm]6z_1^2+4z_2^2-\frac{58}{3}[/mm]
> > >
> >
> >
> > Das ist richtig.
> >
> >
> > > Ich hoffe da kann jemand mal einen Blick drüber werfen :)
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Danke :)
> kann man das denn irgendwie leicht nachprüfen ob man dort
> richtig gerechnet hat?
Wende die gemachten Transformationen auf die erhaltene Normalform an.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Fr 18.01.2013 | | Autor: | frieda84 |
Ok und was passiert, wenn ich eine Matrix [mm] $A=\pmat{ 1 & 1 \\ 1& 1}$ [/mm] habe? Der eine Eigenwert ist ja 0?
Wie gehe ich da vor bei der bestimmung der Normalform?
Dann kann ich ja bloß bei dem 1 Eigenwert eine quadratische Ergänzung machen?
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Hallo frieda84,
> Ok und was passiert, wenn ich eine Matrix [mm]A=\pmat{ 1 & 1 \\ 1& 1}[/mm]
> habe? Der eine Eigenwert ist ja 0?
Ja.
> Wie gehe ich da vor bei der bestimmung der Normalform?
Du bestimmt die Eigenvektoren wie normal.
Nach der Transformation kommt die
betreffende Variable nur noch linear vor.
> Dann kann ich ja bloß bei dem 1 Eigenwert eine
> quadratische Ergänzung machen?
Das ist klar.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Fr 18.01.2013 | | Autor: | frieda84 |
Also soll ich den linearen Term der dort übrig bleibt einfach so lassen?
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Hallo frieda84,
> Also soll ich den linearen Term der dort übrig bleibt
> einfach so lassen?
Ja.
Gruss
MathePower
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Dankeschön
unter folgender Adresse habe ich eine Flächengleichung 2. ordnung gefunden bei der ich nicht verstehe, wie man auf die Matrix $A [mm] =\pmat{ -1&3&1 \\ 3&-1&1 \\ 1&1&1 }$ [/mm] kommt. Ich hoffe dies kann mir jemand erklären.
http://www.mathematik.uni-marburg.de/~agricola/modelle/Vortraege/Flaechen-2-Ordnung.pdf
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 So 20.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:00 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Timme92 |
hallo Frieda,
leider kann ich dir deine frage nicht beantworten. mich würde aber interessieren wie du nach der bildung von S auf das hier kommst:
> Dann folgt aus der obigen Gleichung:
> [mm]6x_1^2+4x_2^2+2b^ty+a_{00}=0[/mm]
> [mm]b^t=a^tS[/mm]
> [mm]=(\vektor{-20 \\ 0})^t*\frac{1}{\wurzel{2}} * \pmat{ -1 & 1 \\ 1 & 1 }=\vektor{20 \\ -20}^t*\frac{1}{\wurzel{2}}[/mm]
Wäre nett von dir wenn du das mal für ganz doofe erklären könntest ;)
Gruß Timme
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mo 21.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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