Normalform Matrix aus O(4) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Di 10.06.2008 | | Autor: | Alexis |
| Aufgabe | Geben Sie mit Beweis die Normalform folgender Matrix [mm] A\in [/mm] O(4) an:
[mm] A=\pmat{0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\0&-1&0&0} [/mm] |
Hi, habe diese Woche irgendwie ganz schön Hilfe nötig:(
1. frage ich mich hier direkt, warum dieses A in O(4) liegen soll. Meines Wissens nach ist O(n) die Gruppe der Matrizen für die gilt [mm] A^T*A=E_n, [/mm] für diese Matrix wäre es aber [mm] -E_n
[/mm]
2. Ich habe als Eigenwerte -i und i raus, da [mm] X_A= x^4+2x^2+1 [/mm] ist.
Somit sind meine Eigenvektoren dann zu i: [mm] \vektor{1\\0\\i\\0}\vektor{0\\1\\0\\i}
[/mm]
und zu -i: [mm] \vektor{1\\0\\-i\\0}\vektor{0\\1\\0\\-i}
[/mm]
Die haben die Länge 0 bei mir, wie kann ich das normieren? Ich versteh da momentan irgendwie nur Bahnhof.
Wäre super wenn mir das kurz jemand erlären könnte,
MfG Alexis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Di 10.06.2008 | | Autor: | Vreni |
Hallo Alexis,
also ich bekomme hier für [mm] A^T*A=\pmat{0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0}\pmat{0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\0&-1&0&0}=E_n=A*A^T [/mm] heraus, das stimmt schon.
Zu deinen Eigenvektoren: zur Berechnung der Länge musst du hier das Skalarprodukt im Komplexen verwenden: [mm] (\vec{a} \cdot \vec{b})=\sum_{i=1}^3 \bar{a_i} \cdot b_i. [/mm] (hier ist mit [mm] \bar{a_i} [/mm] das komplex-konjugierte von [mm] a_i [/mm] gemeint). Die Länge eines Vektors ist dann wie immer die Wurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst.
Bei einem "echten" Skalarprodukt kann nur der Nullvektor die Länge 0 haben, und alle Längen sind positiv (diese Eigenschaft nennt man Positiv-definitheit).
Also haben deine Eigenvektoren die Länge [mm] \sqrt{2}.
[/mm]
Gruß,
Vreni
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