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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Do 29.07.2010 | | Autor: | Wurzel2 |
Hallo.
Wenn ich sage dass eine matrix normalform hat, dann hat sie doch folgende gestalt
[mm]\begin{bmatrix}
I_r & \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots \\
0 & \cdots & 0
\end{bmatrix}[/mm]
mit [mm] I_r [/mm] ist die einheitsmatrix vom rang r gemeint.
Wenn ich nun aber von einer matrix in diagonalgestalt rede sieht diese ja so aus
[mm] \begin{bmatrix}
a_1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots \\
0 & \cdots & a_n
\end{bmatrix}
[/mm]
Sie hat also auf der Diagonalen durchgehend einträge ungleich null.
Ist die Normalform nun eine sonderform der Diagonalmatrix?
Denn die Transformation von einer Matrix A auf Normalform findet ja mit regulären Matrizen P und Q statt, also QAP=Normalmatrix
Und man nennt diesen Vorgang trotzdem Diagonalisieren obwohl die Berechnung einer Diagonalmatrix ja über die Eigenwerte und so stattfindet.
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> Hallo.
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> Wenn ich sage dass eine matrix normalform hat, dann hat sie
> doch folgende gestalt
>
> [mm]\begin{bmatrix}
I_r & \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots \\
0 & \cdots & 0
\end{bmatrix}[/mm]
Kommt darauf an, wie du Normalform definierst.
>
> mit [mm]I_r[/mm] ist die einheitsmatrix vom rang r gemeint.
>
> Wenn ich nun aber von einer matrix in diagonalgestalt rede
> sieht diese ja so aus
>
> [mm]\begin{bmatrix}
a_1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots \\
0 & \cdots & a_n
\end{bmatrix}[/mm]
>
> Sie hat also auf der Diagonalen durchgehend einträge
> ungleich null. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Beim Diagonalisieren stehen auf der Hauptdiagonale die Eigenwerte.
Die Nullmatrix ist auch eine Diagonalmatrix!
Gegenfrage: Was machst du bei Eigenwerten=0?
>
> Ist die Normalform nun eine sonderform der Diagonalmatrix?
Wenn man deine Definition von Normalform nimmt. Dann passt das so.
> Denn die Transformation von einer Matrix A auf Normalform
> findet ja mit regulären Matrizen P und Q statt, also
> QAP=Normalmatrix
> Und man nennt diesen Vorgang trotzdem Diagonalisieren
> obwohl die Berechnung einer Diagonalmatrix ja über die
> Eigenwerte und so stattfindet.
Vielleicht wird es einleuchtender, wenn du dir diese Begriffe noch einmal durchliest:
[mm] $QAP\!$=N [/mm] hier ist A "äquivalent" zu N
[mm] $Q^{-1}AQ=N\!$ [/mm] hier ist A "ähnlich" zu N.
$Q{^T}AQ=N$ hier ist A "kongruent" zu N
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