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| Aufgabe | E1: [mm] (\vec{x}-(\vektor{2 \\ 1 \\ 1}))\*(\vektor{-1 \\ 5 \\ 5})=0
[/mm]
Stellen Sie die Ebene1 durch eine Parametergleichung dar. |
Wie man eine Parametergleichung in eine Normalform umwandelt wurde im Unterricht behandelt, allerdings nicht die Rückumwandlung. Danke im Voraus.
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Hallo Schlagzeile!
Du hast die Normalenform [mm] [\vec{x}-\vektor{2 \\ 1 \\ 1}]*\vektor{-1 \\ 5 \\ 5}=0 [/mm] gegeben. Damit kannst du ja eine Koordinatengleichung angeben indem du [mm] \vec{x}=\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] einsetzt und dann das Skalarprodukt berechnest. Und dann der Weg von der Koordinatengleichung zur Parameterform. Ich hoffe das habt ihr schon gemacht.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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Okay, ich habe gerade mal in meinen Unterlagen nachgeguckt..die Umwandlung von der Koordinatenform in eine Parametergleichung haben wir auch noch nicht behandelt.
Habe jetzt -x+5y+5z-8=0 rausbekommen. Wie muss ich weiter vorgehen?
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Hallo!
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> Habe jetzt -x+5y+5z-8=0 rausbekommen.
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Ja das ist richtig. Man kanns noch umformen zu x-5y-5z=-8
Nun löst du die Koordinatengleichung zum Beispiel nach y auf und ergänzt zwei weitere Gleichungen und stellst hieraus eine Parametergleichung von E auf. Also:
x=....
y=....
z=....
Damit erhälst du deine Parametergleichung.
Eine andere Möglichkeit ist dass du die 3 Punkte A,B,C bestimmst die zu der Ebene E passen und dann mit Hilfe dieser Punkte dann eine Parametergleichung erstellen.
Ok?
Gruß
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Also verstehe ich das richtig: Ich muss meine Koordinatenform zu jeweils x,y,z umformen? Und inwiefern erhalte ich dann eine Parametergleichung?
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Hallo!
Du kennst die folgende Koordinatengleichung [mm] ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}=d [/mm] einer Ebene: Damit möchtest du die Parametetgleichung erstellen. Dazu löst die wie gesagt die Koordinatengleichung nach [mm] x_{1} [/mm] (oder auch [mm] x_{2} [/mm] oder [mm] x_{3})auf [/mm] und ergänzt sie um zwei weitere Gleichungen und stellst hieraus eine Parametergleichung auf:
Durch umstellen erhälst du dann:
[mm] x_{1}=\bruch{d}{a}-\bruch{b}{a}x_{2}-\bruch{c}{a}x_{3}
[/mm]
[mm] x_{2}=0+x_{2}+0x_{3}
[/mm]
[mm] x_{3}=0+0x_{2}+x_{3}
[/mm]
Dies ergibt:
[mm] \Rightarrow \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\vektor{\bruch{d}{a}-\bruch{b}{a}x_{2}-\bruch{c}{a}x_{3} \\ 0+x_{2}+0x_{3} \\ 0+0x_{2}+x_{3}} [/mm] bzw. [mm] \vec{x}=\vektor{\bruch{d}{a} \\ 0 \\ 0}+r\vektor{-\bruch{b}{a} \\ 1 \\ 0}+s\vektor{-\bruch{c}{a} \\ 0 \\ 1}. [/mm] Und damit hast du eine Parametergleichung gefunden.
Gruß
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> E1: [mm](\vec{x}-(\vektor{2 \\ 1 \\ 1}))\*(\vektor{-1 \\ 5 \\ 5})=0[/mm]
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Hallo!
Du hast ja den Normalenvektor [mm] $\vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 5 \\ 5}$.
[/mm]
Nun brauchst Du zwei Richtungsvektoren [mm] $\vec{u}, \vec{v}$, [/mm] die orthogonal zum Normalenvektor sind (Skalarprodukt muss Null sein), [mm] $\vec{u}$ [/mm] und [mm] $\vec{v}$ [/mm] müssen linear unabhängig sein.
[mm] $\vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 5 \\ 5}$.
[/mm]
[mm] $\vec{u} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 1 \\ 0 }$. [/mm] Ich habe da die ersten beiden Komponenten vertauscht und dabei eine von beiden negiert (Vorzeichen geändert: aus der $-1$ wird eine $+1$. Die dritte Komponente wird Null gesetzt.
[mm] $\vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -5 \\ 5}$. [/mm] Ich habe die letzten beiden Komponenten vertauscht und dabei bei einer 5 aus dem $+$ ein $-$ gemacht. Die dritte Komponente wird Null gesetzt.
Die beiden Vektoren [mm] $\vec{u}$ [/mm] und [mm] $\vec{v}$ [/mm] sind linear unabhängig.
Das Vektorprodukt [mm] $\vec{u} \times \vec{v}$ [/mm] ist ein Vielfaches von [mm] $\vec{n}$. [/mm]
Nun können wir die Ebene in Parameterform angeben:
[mm]( E_1: \vec{x}- = \vektor{2 \\ 1 \\ 1} + \lambda \, \vektor{5 \\ 1 \\ 0 } + \mu \,\vektor{0 \\ -1 \\ 1 }; \; \lambda,\mu \in \IR[/mm]
Wobei ich den zweiten Richtungsvektor noch mit [mm] $\frac{1}{5}$ [/mm] multipliziert habe. Schadet nicht (nur in wenigen Fällen).
Erspart den Umweg über die Koordinatenform.
Gruß
mathemak
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