Normalenvektor Kugelkoordinate < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Mi 16.07.2008 | | Autor: | FrankM |
Hallo,
ich habe folgendes Problem. Ich habe eine Fläche geben in Kugelkoordinaten inder Form [mm] r(\theta,\phi) [/mm] und möchte jetzt den normalen Einheitsvekor dazu berechnen. Konkret habe ich [mm] r=f(\theta,\phi)=\frac{1}{cos\theta} [/mm] für [mm] 0\le \theta<\frac{\pi}{4}, [/mm] also ein Quadrat parallel zur x-y-Ebene, so dass der Normalenvektor in z-Richtung zeigen muss. Mein Ansatz für die Komponenten in r-, [mm] \theta- [/mm] und [mm] \phi- [/mm] Richtung war jetzt [mm] \vektor{1\\ -\partial_{\theta} f \\ -\partial_{\phi}f}=\vektor{1\\-\frac{sin\theta}{cos^2\theta}\\0}. [/mm] Berechne ich jetzt aber [mm] \overrightarrow{e_r}-\frac{sin\theta}{cos^2\theta}\overrightarrow{e_{\theta}} [/mm] erhalte ich in kartesischen Koordinaten [mm] \vektor{(1-cos\theta)sin\theta cos\phi\\(1-cos\theta)sin\theta sin\phi\\cos\theta - sin\theta} [/mm] und damit auch Komponenten in x- bzw. y- Richtung. Daher meine Frage, wo ist mein Fehler oder wie berechnen ich den Normalenvektor korrekt.
Vielen Dank
Frank
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Hallo Frank,
ich kenne keine entsprechenden Formeln. Eine Idee
könnte ich aber anbieten. Ich denke mir zuerst zwei
Tangentialvektoren der Fläche, einer davon erzeugt durch
eine kleine Variation in [mm] \theta, [/mm] der andere durch eine
kleine Variation in [mm] \phi. [/mm] Das Kreuzprodukt dieser
Tangentialvektoren ergibt einen Normalenvektor,
dessen Länge dann noch zu normieren wäre.
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Ich habe nun versucht, meine Idee in die Tat umzusetzen.
Um die Konvention betr. Definition der Kugelkoordinaten
festzuhalten: [mm] \theta [/mm] =0 gilt für Punkte auf der positiven z-Achse;
[mm] \theta [/mm] geht von 0 bis [mm] \pi. [/mm] Die Reihenfolge der Koordinaten ist [mm] (\theta, \phi,r).
[/mm]
Ein Tangentialvektor in [mm] \theta- [/mm] Richtung ist (alles in lokalen
Kugelkoordinaten notiert !)
[mm] \vektor{r*d \theta \\ 0 \\dr} [/mm] oder [mm] \vec{t_\theta}=\vektor{r\\0\\r_{\big{\theta}}}
[/mm]
Tangentialvektor in [mm] \phi- [/mm] Richtung:
[mm] \vektor{0\\r*sin(\theta) d\phi\\dr} [/mm] oder [mm] \vec{t_\phi}=\vektor{0\\r*sin(\theta)\\r_{\big{\phi}}}
[/mm]
Dann wird der Normalenvektor der Fläche r = [mm] r(\theta, \phi) [/mm] in einem
ihrer Punkte [mm]\ P( \theta / \phi / r )[/mm]:
[mm] \vec{n}=\vec{t_\theta} \times \vec{t_\phi}=r*\vektor{-r_{\big{\theta}}*sin(\theta)\\-r_{\big{\phi}}\\r*sin(\theta)}
[/mm]
Auf den Vorfaktor r kann man natürlich noch verzichten und, um
einen Normalen-Einheitsvektor zu bekommen, durch den Betrag
dividieren. Ergebnis:
[mm] \vec{n}_{Einheitsvektor}=\bruch{1}{\wurzel{(r^2+r_{\big{\theta}}^2)*sin^2(\theta)+r_{\big{\phi}}^2}}*\vektor{-r_{\big{\theta}}*sin(\theta)\\-r_{\big{\phi}}\\r*sin(\theta)}
[/mm]
LG al-Chwarizmi
Da ich dies alles jetzt selber entwickelt habe, wäre ich froh um Korrekturlesungen !
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:14 Do 17.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> Ich habe nun versucht, meine Idee in die Tat umzusetzen.
> Um die Konvention betr. Definition der Kugelkoordinaten
> festzuhalten: [mm]\theta[/mm] =0 gilt für Punkte auf der positiven
> z-Achse;
> [mm]\theta[/mm] geht von 0 bis [mm]\pi.[/mm] Die Reihenfolge der Koordinaten
> ist [mm](\theta, \phi,r).[/mm]
>
> Ein Tangentialvektor in [mm]\theta-[/mm] Richtung ist (alles in
> lokalen
> Kugelkoordinaten notiert !)
>
> [mm]\vektor{r*d \theta \\ 0 \\dr}[/mm] oder
> [mm]\vec{t_\theta}=\vektor{r\\0\\r_{\big{\theta}}}[/mm]
>
> Tangentialvektor in [mm]\phi-[/mm] Richtung:
>
> [mm]\vektor{0\\r*sin(\theta) d\phi\\dr}[/mm] oder
> [mm]\vec{t_\phi}=\vektor{0\\r*sin(\theta)\\r_{\big{\phi}}}[/mm]
>
> Dann wird der Normalenvektor der Fläche r = [mm]r(\theta, \phi)[/mm]
> in einem
> ihrer Punkte [mm]\ P( \theta / \phi / r )[/mm]:
>
> [mm]\vec{n}=\vec{t_\theta} \times \vec{t_\phi}=r*\vektor{-r_{\big{\theta}}*sin(\theta)\\-r_{\big{\phi}}\\r*sin(\theta)}[/mm]
>
> Auf den Vorfaktor r kann man natürlich noch verzichten
> und, um
> einen Normalen-Einheitsvektor zu bekommen, durch den
> Betrag
> dividieren. Ergebnis:
>
> [mm]\vec{n}_{Einheitsvektor}=\bruch{1}{\wurzel{(r^2+r_{\big{\theta}}^2)*sin^2(\theta)+r_{\big{\phi}}^2}}*\vektor{-r_{\big{\theta}}*sin(\theta)\\-r_{\big{\phi}}\\r*sin(\theta)}[/mm]
>
>
> LG al-Chwarizmi
>
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> Da ich dies alles jetzt selber entwickelt habe, wäre ich
> froh um Korrekturlesungen !
Ich kann nicht behaupten, Deinen Weg nachvollziehen zu können: deshalb kann ich auch nicht auf eine bestimmte Stelle zeigen, an der etwas schief gelaufen ist. Aber ich glaube einigermassen sicher sagen zu können, dass das Ergebnis falsch ist. Wie FrankM schon schrieb: ein Normalenvektor muss parallel zur $z$-Richtung sein. Dein Ergebnis scheint diese Bedingung nicht zu erfüllen - oder täusche ich mich da?
Mit einem CAS habe ich folgendes gemacht. Zuerst definierte ich
[mm]\vec{r}(\varphi,\vartheta) := \frac{1}{\cos(\vartheta)}\pmat{\sin(\vartheta)\cos(\varphi)\\\sin(\vartheta)\sin(\varphi)\\\cos(\vartheta)}[/mm]
und zwar mit dieser Eingabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann liess ich das CAS das Vektorprodukt
[mm]\left(\frac{\partial}{\partial\varphi}\vec{r}(\varphi,\vartheta)\right)\times\left(\frac{\partial}{\partial\vartheta}\vec{r}(\varphi,\vartheta)\right)[/mm]
berechnen. Und zwar mit dieser Eingabe / diesem Ergebnis:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man sieht schon: dieser Vektor hat die richtige Form; einzige Koordinate [mm] $\neq [/mm] 0$ ist die $z$-Koordinate.
Ein Bild der fraglichen Fläche für [mm] $0\leq \varphi\leq \pi$ [/mm] und [mm] $0\leq \vartheta\leq\frac{\pi}{4}$ [/mm] ist:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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hallo Somebody,
zuerst einmal herzlich dankeschön, dass du dich mit meinem
Artikel beschäftigt hast !
Meine ganzen Überlegungen finden aber (wie das wohl vom
Initiator des threads erwartet wurde) nicht in einem x-y-z-
sondern in einem [mm] \theta-\phi-r [/mm] - Koordinatensystem statt.
Die hergeleitete Formel
[mm] \vec{n}_{Einheitsvektor}=\bruch{1}{\wurzel{(r^2+r_{\big{\theta}}^2)\cdot{}sin^2(\theta)+r_{\big{\phi}}^2}}\cdot{}\vektor{-r_{\big{\theta}}\cdot{}sin(\theta)\\-r_{\big{\phi}}\\r\cdot{}sin(\theta)}
[/mm]
ist natürlich nicht auf ein bestimmtes Beispiel zugeschnitten,
sondern sollte im Prinzip auf alle differenzierbaren Flächen
anwendbar sein, die sich in der Form [mm] r=r(\theta,\phi) [/mm] darstellen
lassen.
Das vorgegebene Beispiel mit [mm] r(\theta, \phi) [/mm] = [mm] \bruch{1}{cos(\theta)} [/mm] ,
welches in kartesischen Koordinaten auf die Ebene z=1
führt, habe ich natürlich auch durchgerechnet und habe
folgendes Ergebnis erhalten:
Normaleneinheitsvektor im Kugelkoordinatensystem:
[mm] \vec{n}_{Kugel} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+tan^2(\theta)}}*\vektor{-tan(\theta)\\0\\1}
[/mm]
Wenn man diesen Vektor ins kartesische Koordinatensystem
transformiert, erhält man:
[mm] \vec{n}_{kartesisch} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\1}
[/mm]
wie es sein soll.
Natürlich ist mir klar, dass dieses eine und einfache Beispiel
nicht genügt, um meine Formel zu verifizieren.
al-Chw.
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 20:03 Do 17.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> hallo Somebody,
>
> zuerst einmal herzlich dankeschön, dass du dich mit meinem
> Artikel beschäftigt hast !
>
> Meine ganzen Überlegungen finden aber (wie das wohl vom
> Initiator des threads erwartet wurde) nicht in einem
> x-y-z-
> sondern in einem [mm]\theta-\phi-r[/mm] - Koordinatensystem
> statt.
>
> Das vorgegebene Beispiel mit [mm]r(\theta, \phi)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{cos(\theta)}[/mm] ,
> welches in kartesischen Koordinaten auf die Ebene z=1
> führt, habe ich natürlich auch durchgerechnet und habe
> folgendes Ergebnis erhalten:
>
> Normaleneinheitsvektor im Kugelkoordinatensystem:
>
> [mm]\vec{n}_{Kugel}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+tan^2(\theta)}}*\vektor{-tan(\theta)\\0\\1}[/mm]
>
> Wenn man diesen Vektor ins kartesische Koordinatensystem
> transformiert, erhält man:
>
> [mm]\vec{n}_{kartesisch}[/mm] = [mm]\vektor{0\\0\\1}[/mm]
Schön, dann scheint Dein Ergebnis doch zu stimmen. Es wäre nur eine gute Idee gewesen, wenn Du das ursprünglich formulierte Beispiel bis zum bitteren Ende durchgerechnet hättest. Zweifellos behagt mir persönlich das direkte Rechnen mit Kugelkoordinaten nicht, ausser ich schreibe die Sache als Linearkombination von [mm] $\vec{e}_\varphi, \vec{e}_\vartheta$ [/mm] und [mm] $\vec{e}_r$. [/mm] Was eigentlich idiotisch ist: denn die Schreibweise als Spaltenvektor ist ja nur eine Abkürzung dafür. - Ich denke es zeigt einfach, dass ich ein Gewohnheitstier bin, das zudem Kugelkoordinaten nur noch erschreckend selten antrifft...
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> Schön, dann scheint Dein Ergebnis doch zu stimmen. Es wäre
> nur eine gute Idee gewesen, wenn Du das ursprünglich
> formulierte Beispiel bis zum bitteren Ende durchgerechnet
> hättest.
Ich habe das natürlich getan; das Ende war nicht bitter;
ich gönne jedem den Genuss, der das Ziel selber erreicht.
(Die Sache mit den Kugelkoordinaten - und viele andere
geometrische Sachverhalte - mache ich mir mit einer Skizze
und einfacher Trigonometrie klar, im selben Stil, wie
seinerzeit mein Vater technische Probleme mittels Skizzen
auf der Rückseite seiner Zigarettenschachteln löste.)
Vielen Dank für dein feedback !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Fr 18.07.2008 | | Autor: | FrankM |
Hallo,
vielen Dank für euere Mitteilungen und Lösungen, habe jetzt den Ansatz von Al-Chwarizmi implementiert und er funktioniert sehr gut und hat auch genau die Form, die ich gesucht habe. Leider ist mir nicht klar, wie Du auf die Form der Tagnetialvektoren kommst, kannst Du das noch einmal erläutern?
Vielen Dank
Frank
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> Hallo,
>
> vielen Dank für euere Mitteilungen und Lösungen, habe jetzt
> den Ansatz von Al-Chwarizmi implementiert und er
> funktioniert sehr gut und hat auch genau die Form, die ich
> gesucht habe. Leider ist mir nicht klar, wie Du auf die
> Form der Tagnetialvektoren kommst, kannst Du das noch
> einmal erläutern?
>
> Vielen Dank
> Frank
Hi Frank,
nun, wie gesagt, ich hab mir zuerst eine Skizze gemacht. Ich
kann versuchen, die Idee in Worten zu erklären. Die beiden
Koordinatensysteme können wir uns so veranschaulichen:
Das kartesische hat seinen Ursprung im Erdmittelpunkt,
die x-Achse zeigt zum Punkt des Aequators mit geografischer
Länge (hier [mm] \phi) [/mm] =0. Die z-Achse zeigt zum Nordpol.
Anstatt der üblichen geogr. Breite benützen wir den Winkel
[mm] \theta [/mm] , der vom Nordpol aus gemessen wird.
Der Punkt [mm] P(\theta,\phi,r) [/mm] sei ein Punkt im Gelände auf der
Erdoberfläche, welche die zu beschreibende Fläche darstellen
soll - fragt mich bitte nicht nach der Funktionsgleichung (da
würdet ihr euch am besten bei google earth erkundigen  ).
Hier basteln wir uns nun ein kleines Kugelkoordinaten-Modell.
Da es so klein ist, bemerkt man kaum, dass zwei seiner Achsen
ein wenig gekrümmt sind. Die [mm] \theta-Achse [/mm] zeigt dem Meridian
entlang nach Süden, die [mm] \phi-Achse [/mm] dem Breitenkreis entlang
gegen Osten, die r-Achse zum Zenit. Man beachte noch, dass
dieses System rechtsorientiert ist (das ist für das Vektorprodukt
bedeutsam).
So, nun suchen wir zunächst einen von P aus gehenden
Tangentialvektor in [mm] \theta-Richtung. [/mm] Der soll nun nicht tangential
zur theoretischen "Erdkugel" sein, sondern tangential zur
wirklichen Erdoberfläche (als differenzierbare Fläche idealisiert)
in der Umgebung von P. Gehen wir also von [mm] P(\theta,\phi,r) [/mm] aus
zum Punkt [mm] Q(\theta+d \theta,\phi,r+dr). [/mm] Das ist (falls [mm] d\theta>0)
[/mm]
ein Geländepunkt etwas südlich von P. Die horizontale Distanz
von P zu Q ist gleich r*d [mm] \theta. [/mm] Die vertikale Distanz dr ergibt
sich aus der partiellen Ableitung [mm] \bruch{\partial r}{\partial \theta} [/mm] :
[mm] dr=\bruch{\partial r}{\partial \theta}*d\theta=r_{\big{\theta}}*d\theta [/mm]
Also erhalten wir für unseren ersten Tangentialvektor:
[mm] \vec{t}_{\theta}=\vektor{r*d \theta\\ 0 \\d r}=\vektor{r*d \theta\\ 0 \\r_{\big{\theta}}*d\theta}
[/mm]
Da nur die Richtung dieses Vektors wichtig ist, kann man ihn durch [mm] d\theta
[/mm]
dividieren und hat:
[mm] \vec{t_\theta}=\vektor{r\\0\\r_{\big{\theta}}}
[/mm]
Der nach Osten gerichtete Tangentialvektor [mm] \vec{t_\phi} [/mm] wird nun
analog bestimmt. Wer bis hier mitgekommen ist, schafft
dies wahrscheinlich selber.
Um einen Normalenvektor (zur Geländefläche) im Punkt P zu erhalten,
bildet man dann das Vektorprodukt:
[mm] \vec{n}=\vec{t_\theta}\times \vec{t_\phi}
[/mm]
viele Grüsse !
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Ich habe in den Beiträgen in diesem thread eine etwas
ungewohnte Reihenfolge der Notation bei Kugelkoordi-
naten verwendet.
Die "übliche" Reihenfolge ist wohl [mm] (r,\theta,\phi). [/mm] Ich habe aber
auch schon [mm] (r,\phi,\theta) [/mm] angetroffen.
Und hier habe ich die Reihenfolge [mm] (\theta,\phi,r) [/mm] benützt.
Dies schien mir aufgrund des "lokalen" und fast euklidischen
Kugelkoordinatensystems in einem Flächenpunkt eingängiger
(die dritte Koordinate zeigt nach "oben" wie im gewohnten
kartesischen x-y-z-System).
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