Normalengleichung für Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:30 So 27.08.2006 | | Autor: | Clarcie |
| Aufgabe | | Gegeben seien die Gerade g durch [mm] \overrightarrow{x}=\vektor{-1 \\ 5\\-2}+t*\vektor{1 \\ -1\\1} [/mm] und der Punkt P -1 -1 2 Ermittle eine Normalengleichung für die Ebene [mm] \varepsilon, [/mm] die g und P enthält. |
Hallo,
irgendwie bekomme ich bei dieser Aufgabe die Normalengleichung nicht hin. Also ich habe mir überlegt und da ist glaube ich auch schon der Fehler, dass der Normalenvektor ja senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden g steht und habe dann für ihn z.B. [mm] \vektor{1 \\ 1\\0} [/mm] und dann also Normalengleichung [mm] \vec{x}*\vektor{1 \\ 1\\0}=-2 [/mm] , allerding habe ich dann die Probe gemacht weil ich dachte der Aufpunkt der Gerade g müsste ja in der Ebene liegen, allerdings bekomme ich da eine falsche Aussage raus. Wäre sehr nett, wenn mir jemand meinen Fehler sagen könnte und mir helfen würde die richtige Normalengleichung zu finden. Danke
Clarcie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 So 27.08.2006 | | Autor: | Disap |
> Gegeben seien die Gerade g durch
> [mm]\overrightarrow{x}=\vektor{-1 \\ 5\\-2}+t*\vektor{1 \\ -1\\1}[/mm]
> und der Punkt P -1 -1 2 Ermittle eine Normalengleichung
> für die Ebene [mm]\varepsilon,[/mm] die g und P enthält.
> Hallo,
Hi.
> irgendwie bekomme ich bei dieser Aufgabe die
> Normalengleichung nicht hin. Also ich habe mir überlegt und
> da ist glaube ich auch schon der Fehler, dass der
> Normalenvektor ja senkrecht auf dem Richtungsvektor der
> Geraden g steht und habe dann für ihn z.B. [mm]\vektor{1 \\ 1\\0}[/mm]
Es gibt unendlich viele Vektoren, die auf dem Richtungsvektor senkrecht stehen. Das heisst, so kommst du nicht weiter
> und dann also Normalengleichung [mm]\vec{x}*\vektor{1 \\ 1\\0}=-2[/mm]
> , allerding habe ich dann die Probe gemacht weil ich dachte
> der Aufpunkt der Gerade g müsste ja in der Ebene liegen,
> allerdings bekomme ich da eine falsche Aussage raus. Wäre
> sehr nett, wenn mir jemand meinen Fehler sagen könnte und
> mir helfen würde die richtige Normalengleichung zu finden.
Im Augenblick erkenne ich leider deine Idee nicht, könnte aber auch daran liegen, dass ich total übermüdet bin.
Stell doch stattdessen erst einmal eine Parameterform auf:
[mm] g:\overrightarrow{x}=\vektor{-1 \\ 5\\-2}+t*\vektor{1 \\ -1\\1}
[/mm]
P(-1|-1|2)
Da die Gerade in der Ebene liegen soll, können wir den Orts- und Richtungsvektor der geraden übernehmen.
[mm] $E:\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 5\\-2}+t*\vektor{1 \\ -1\\1} [/mm] + s [mm] \vektor{??\\??\\??}$
[/mm]
Nun benötigst du nur noch einen zweiten Richtungsvektor, und den kannst du aus dem Ortsvektor und dem Punkt P bilden. Nennen wir den Ortsvektor mal [mm] \vec{a} [/mm] und der dazugehörige Punkt A.
dann gilt:
[mm] $E:\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 5\\-2}+t*\vektor{1 \\ -1\\1} [/mm] + s [mm] \overline{AP}$
[/mm]
Nun hast du eine Parameterform, kannst du daraus die Normalenform bilden oder übersteigt das deine Kenntnisse (weil ihr es noch nicht in der Schule hattet)
> Danke
> Clarcie
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Disap
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 So 27.08.2006 | | Autor: | Clarcie |
Hey,
also dann wäre die Parametergleichung ja [mm] E:\vec{x}=\vektor{-1 \\ 5\\2}+t*\vektor{1 \\ -1\\1}+s*\vektor{0 \\ 6\\0} [/mm] ok aber dann würde ich jetzt wieder einen zu einem RV senkrechten Vektor bilden aber das ist ja das gleiche was ich gerade schon machen wollte, allerdings hatte ich es noch nicht in der Schule. Wir haben nur aus der Normalenform eine Parameterform gemacht .
Naja troztdem danke. Wenn dir oder jemandem anders noch einfällt, wie ich ohne die Parameterform auf die Normalengleichung komme bin ich demjenigen auch nocoh dankbar wenn er mir seine Überlegungen mitteilt. Danke Lg Clarcie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 So 27.08.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> also dann wäre die Parametergleichung ja
> [mm]E:\vec{x}=\vektor{-1 \\ 5\\2}+t*\vektor{1 \\ -1\\1}+s*\vektor{0 \\ 6\\0}[/mm]
Richtig. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> ok aber dann würde ich jetzt wieder einen zu einem RV
> senkrechten Vektor bilden aber das ist ja das gleiche was
> ich gerade schon machen wollte, allerdings hatte ich es
> noch nicht in der Schule. Wir haben nur aus der
> Normalenform eine Parameterform gemacht .
Das Stichwort Kreuzprodukt oder Vektorprodukt kennst du also noch nicht... Um die Frage wirklich genau beantworten zu können, müsste man wissen, was ihr im Unterricht schon behandelt habt.
Der Normalenvektor muss nun auf beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen, und das hast du beim ersten mit Hilfe des Skalarproduktes?
Es gelten die Bedingungen
[mm] $\vec{r_1} [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm] = 0$
sowie
[mm] $\vec{r_2} [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm] = 0$
In Zahlen heisst das:
I [mm] $1*n_1-1*n_2+1*n_3=0$
[/mm]
II [mm] $0*n_1+6*n_2+0*n_3=0$
[/mm]
Die beiden Gleichungen müssen erfüllt sein, und das geht, indem man das ganze definiert
[mm] $n_1 [/mm] := 1$; [mm] $n_2:=0$ $n_3=-1$
[/mm]
Es ergibt sich der Normalenvektor [mm] \vektor{1\\0\\-1}
[/mm]
Anders kann man den Normalenvektor wohl nicht bilden.
Ansonsten wirf doch mal einen Blick in das Mathebuch, ob man aus drei gegebenen Punkten auch ohne dem Kreuzprodukt und dem Skalarprodukt die Normalenform bilden kann.
Schöne Grüße
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 So 27.08.2006 | | Autor: | Clarcie |
Danke für deine Mühe
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