Normalengleichung einer Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe in drei Wochen schriftliches Mathe-Abi und rechne gerade verschiedene Aufgaben zur Übung. Leider habe ich keine Lösungen und auch keine Ansätze wenn ich nicht weiterkomme.
Ich habe folgende Parameterdarstellung ausgerechnet:[mm] \begin{pmatrix}
x \\y \\z \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
2 \\-4 \\4 \end{pmatrix} [/mm] + r * [mm] \begin{pmatrix}
3 \\5 \\4 \end{pmatrix} [/mm] + s * [mm] \begin{pmatrix}
6 \\0 \\8 \end{pmatrix} [/mm].
Wenn ich das jetzt versuche in eine Koordinatengleichung umzurechnen, komme ich auf folgendes Ergebnis:
z-[mm] \left( \bruch{4}{3} \right) [/mm]*x = [mm] \left( \bruch{4}{3} \right) [/mm]
Das Teilergebnis ist aber angegeben und soll heißen:
8x-6z= 8
Kann mir jemand helfen und sagen, was ich dabei falsch mache??
Das wäre sehr nett. Vielen Dank im Voraus!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:11 So 27.02.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo graciousanni,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe in drei Wochen schriftliches Mathe-Abi und rechne
> gerade verschiedene Aufgaben zur Übung. Leider habe ich
> keine Lösungen und auch keine Ansätze wenn ich nicht
> weiterkomme.
> Ich habe folgende Parameterdarstellung ausgerechnet:[mm] \begin{pmatrix}
x \\y \\z \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix}
2 \\-4 \\4 \end{pmatrix}[/mm] + r * [mm]\begin{pmatrix}
3 \\5 \\4 \end{pmatrix}[/mm] + s * [mm]\begin{pmatrix}
6 \\0 \\8 \end{pmatrix} [/mm].
> Wenn ich das jetzt versuche in
> eine Koordinatengleichung umzurechnen, komme ich auf
> folgendes Ergebnis:
> z-[mm] \left( \bruch{4}{3} \right) [/mm]*x = [mm]\left( \bruch{4}{3} \right)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , das ist korrekt!
Um eine Darstellung mit Brüchen zu vermeiden, kannst du deine Gleichung noch mit 3 multiplizieren und erhältst:
$3z- 4x = 4$
Du kannst übrigens sehr einfach selbst nachprüfen, ob deine Koordinatengleichung korrekt ist:
1. Normalenvektor ablesen: [mm] $\vec{n}=\vektor{-4\\0\\3}$
[/mm]
2. Überprüfe, ob 1. Richtungsvektor orthogonal zu [mm] $\vec{n}$: $\vektor{3\\5\\4}\*\vektor{-4\\0\\3}=-12+12=0$ [/mm]
3. Überprüfe, ob 2. Richtungsvektor orthogonal zu [mm] $\vec{n}$: $\vektor{6\\0\\8}\*\vektor{-4\\0\\3}=-24+24=0$ [/mm]
4. Überprüfe, ob Stützvektor [mm] $\vektor{2\\-4\\4}$ [/mm] die Koordinatengleichung erfüllt: $3*4-4*2=12-8=4$
> Das Teilergebnis ist aber angegeben und soll heißen:
> 8x-6z= 8
Dieses Teilergebnis passt tatsächlich nicht zu deiner Parameterdarstellung, denn der Stützvektor der Ebene erfüllt nicht diese Koordinatengleichung.
Aber es scheitert nur an einem Vorzeichen: Entweder, das Teilergebnis lautet [mm] $8x-6z=\red{-}8$ [/mm] oder du hast einen Vorzeichenfehler bei deinem Stützvektor gemacht; das solltest du nochmal überprüfen bzw. poste die ganze Aufgabe und deinen vorherigen Rechnungen.
Viele Grüße,
Marc
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Vielen Dank für deine schnelle Antwort und die genaue Erklärung Hab die Aufgabe jetzt auch verstanden und kann sie nachvollziehen.
Bei dem Teilergebnis hatte ich mich vertippt, es heißt tatsächlich
8x-6z= -8
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