Normalengleichung aufstellen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Designer erhält von einer Süßwarenfirma den Auftrag, eine neue Schachtel für ihre Schokolinsen zu entwerfen.
Der Entwurf sieht vor, dass die Schachtel Teil einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche ist. Durch den Schnitt mit einer geeigneten Ebene entsteht als Schnittfläche die viereckige Deckfläche der Schachtel.
Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem hat die Grundfläche der Pyramide die Eckpunkte A(8|0|0), B(8|8|0), C(0|8|0), D(0|0|0), ihre Spitze ist der Punkt S(0|0|8).
Die Schnittebene [mm] E_{EGH} [/mm] wird festgelegt durch die Punkte E(4|0|4), G(0|4|4) und H(0|0|5) (alle Angaben sind in cm).
Die Schachtel ist dann der Körper mit den Eckpunkten A,B,C,D,E,F,G,H.
a) (4) Prüfen Sie, ob die Deckfläche der Schachtel parallel zu ihrer Grundfläche ist. |
Die Deckfläche der Schachtel habe ich in einer vorigen Aufgabe schon ausgerechnet.
Sie lautet [mm] E_{EGH}: \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 4x_{3} [/mm] = 20.
Ich weiß auch eigentlich, wie man die Lage zweier Ebenen prüft. Ich wollte jetzt erst die Parametergleichung der Grundfläche aufstellen, um von da aus zur Normalen- und Koordinatengleichung zu kommen. Wenn ich dann die Koordinatengleichung habe, muss ich nur schauen, ob die Ebenen auf einer Seite Vielfache voneinander sind, um zu zeigen, dass sie parallel sind. So weit die Theorie. Leider kommt bei mir als Normalenvektor immer nur der Nullvektor raus. Egal, was ich versuche. Und dann kann ich doch keine Koordinatengleichung aufstellen. Beispiel:
[mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \vektor{-8 \\ 8 \\ 0} [/mm] ; [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = [mm] \vektor{-8 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] E_{ABCD}: \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ 0 \\ 0} [/mm] + t * [mm] \vektor{-8 \\ 8 \\ 0} [/mm] + u * [mm] \vektor{-8 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vektor{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}} [/mm] * [mm] \vektor{-8 \\ 8 \\ 0} [/mm] = 0 [mm] \wedge \vektor{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}} [/mm] * [mm] \vektor{-8 \\ 8 \\ 0} [/mm] = 0
I: -8 [mm] n_{1} [/mm] + 8 [mm] n_{2} [/mm] = 0
II: -8 [mm] n_{1} [/mm] = 0 <=> [mm] n_{1} [/mm] = 0
I: -8*0 + 8 [mm] n_{2} [/mm] = 0
<=> [mm] n_{2} [/mm] = 0
Was mache ich falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Sa 28.02.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Ein Designer erhält von einer Süßwarenfirma den Auftrag,
> eine neue Schachtel für ihre Schokolinsen zu entwerfen.
> Der Entwurf sieht vor, dass die Schachtel Teil einer
> Pyramide mit quadratischer Grundfläche ist. Durch den
> Schnitt mit einer geeigneten Ebene entsteht als
> Schnittfläche die viereckige Deckfläche der Schachtel.
> Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem hat die
> Grundfläche der Pyramide die Eckpunkte A(8|0|0), B(8|8|0),
> C(0|8|0), D(0|0|0), ihre Spitze ist der Punkt S(0|0|8).
> Die Schnittebene [mm]E_{EGH}[/mm] wird festgelegt durch die Punkte
> E(4|0|4), G(0|4|4) und H(0|0|5) (alle Angaben sind in cm).
> Die Schachtel ist dann der Körper mit den Eckpunkten
> A,B,C,D,E,F,G,H.
>
> a) (4) Prüfen Sie, ob die Deckfläche der Schachtel
> parallel zu ihrer Grundfläche ist.
> Die Deckfläche der Schachtel habe ich in einer vorigen
> Aufgabe schon ausgerechnet.
> Sie lautet [mm]E_{EGH}: \overrightarrow{x}[/mm] = [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] +
> [mm]4x_{3}[/mm] = 20.
>
> Ich weiß auch eigentlich, wie man die Lage zweier Ebenen
> prüft. Ich wollte jetzt erst die Parametergleichung der
> Grundfläche aufstellen, um von da aus zur Normalen- und
> Koordinatengleichung zu kommen. Wenn ich dann die
> Koordinatengleichung habe, muss ich nur schauen, ob die
> Ebenen auf einer Seite Vielfache voneinander sind, um zu
> zeigen, dass sie parallel sind. So weit die Theorie. Leider
> kommt bei mir als Normalenvektor immer nur der Nullvektor
Nein, s.u.
> raus. Egal, was ich versuche. Und dann kann ich doch keine
> Koordinatengleichung aufstellen. Beispiel:
>
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] = [mm]\vektor{-8 \\ 8 \\ 0}[/mm] ;
> [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] = [mm]\vektor{-8 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Warum nimmst du hier [mm] $\overrightarrow{BC}$ [/mm] als zweiten Spannvektor, wenn dein Aufpunkt $A$ ist. Wuerde sich dann nicht eher [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] anbieten?
>
> [mm]E_{ABCD}: \overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{8 \\ 0 \\ 0}[/mm] + t *
> [mm]\vektor{-8 \\ 8 \\ 0}[/mm] + u * [mm]\vektor{-8 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
>
> [mm]\vektor{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}}[/mm] * [mm]\vektor{-8 \\ 8 \\ 0}[/mm] =
> 0 [mm]\wedge \vektor{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}}[/mm] * [mm]\vektor{-8 \\ 8 \\ 0}[/mm]
> = 0
Im letzten Vektor muss in der zweiten Komponente eine 0 stehen!
>
> I: -8 [mm]n_{1}[/mm] + 8 [mm]n_{2}[/mm] = 0
> II: -8 [mm]n_{1}[/mm] = 0 <=> [mm]n_{1}[/mm] = 0
>
> I: -8*0 + 8 [mm]n_{2}[/mm] = 0
> <=> [mm]n_{2}[/mm] = 0
>
> Was mache ich falsch?
>
Bis auf die Geschichte mit dem Spannvektor, die ich nochmal pruefen wuerde, nichts:
[mm] $n_1=0$ [/mm] und [mm] $n_2=0$ [/mm] sind richtig. Aber du hast ja noch nichts fuer [mm] $n_3$ [/mm] angegeben? [mm] $n_3$ [/mm] ist doch frei waehlbar. (Hattet ihr schon das Kreuz-/Vektorprodukt?)
Gruss
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Ich habe es noch mal überprüft und bin auf [mm] n_{1} [/mm] = 2 gekommen.
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 8 \\ 0} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \vektor{-8 \\ 8 \\ 0}
[/mm]
[mm] E_{ABCD}: \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ 0 \\ 0} [/mm] + t * [mm] \vektor{-8 \\ 8 \\ 0} [/mm] + u * [mm] \vektor{0 \\ 8 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vektor{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}} [/mm] * [mm] \vektor{-8 \\ 8 \\ 0} [/mm] = 0 [mm] \wedge \vektor{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 8 \\ 0} [/mm] = 0
I: -8 [mm] n_{1} [/mm] + 8 [mm] n_{2} [/mm] = 0
II: 8 [mm] n_{2} [/mm] = 0 <=> [mm] n_{2} [/mm] = 8
I: [mm] -8n_{1} [/mm] + 8*8 = 0
<=> -8 [mm] n_{1} [/mm] = -16
<=> [mm] n_{1} [/mm] = 2
Das Kreuzprodukt hatten wir noch nicht und ich bezweifle, dass das noch dran kommt, weil ich Montag meine Vorabiklausur hab. Für [mm] x_{3} [/mm] würde ich jetzt einfach 0 nehmen.
Danke für die Hilfe. Hatte das zig mal neu gerechnet, wobei mir anscheinend immer derselbe Fehler unterlaufen ist.
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> Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem hat die
> Grundfläche der Pyramide die Eckpunkte A(8|0|0), B(8|8|0),
> C(0|8|0), D(0|0|0), ihre Spitze ist der Punkt S(0|0|8).
> Die Schnittebene [mm]E_{EGH}[/mm] wird festgelegt durch die Punkte
> E(4|0|4), G(0|4|4) und H(0|0|5) (alle Angaben sind in cm).
> Die Schachtel ist dann der Körper mit den Eckpunkten
> A,B,C,D,E,F,G,H.
>
> a) (4) Prüfen Sie, ob die Deckfläche der Schachtel
> parallel zu ihrer Grundfläche ist.
Hallo,
eigentlich kann man schon ohne eigentliche Rechnung
sehen, dass die Ebenen nicht parallel sein können.
Die Punkte A,B,C,D liegen alle in der Ebene mit der
Gleichung z=0 (und bilden ein darin liegendes Quadrat).
Wäre die zweite Ebene dazu parallel, müsste sie eine
Gleichung der Form z=const. haben. Dies kann aber
nicht sein, da unter den z-Koordinaten von E,F,G die
Werte 4 und 5 vorkommen.
Dies könnte man natürlich auch mit vektorieller
Argumentation zeigen.
LG , Al-Chw.
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Guter Punkt. Dann kann ich mir die Rechnung in der Klausur und damit wertvolle Zeit sparen.
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> Guter Punkt. Dann kann ich mir die Rechnung in der Klausur
> und damit wertvolle Zeit sparen.
Naja, ob dann in der Klausur auch gerade so ein Beispiel
kommt, ist fraglich. Und selbst dann: eine klare Begründung
der Lösungen wird bestimmt erwartet.
Schönen Abend !
Al-Chw.
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