Normaleneinheitsvektor < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Di 04.01.2005 | | Autor: | astro78 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute,
ich bin neu hier und habe folgendes Problem:
Wir betrachten den Tetraeder mit den Eckpunkten
A=(0,0,0)
B=(a,0,0)
[mm] C=(\bruch{1}{2}a, \bruch{\wurzel{3}}{2}a, [/mm] 0)
D=( [mm] \bruch{2}{2}, \bruch{ \wurzel{3}}{6}a, \bruch{ \wurzel{6}}{3}a)
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Normaleneinheitsvektoren zu zwei Seitenflächen ihrer Wahl.
b) Wie groß ist der Winkel zwischen den beiden Seitenflächen?
Kann mir da jemand helfen? Mit Normaleneinheitsvektoren kann ich gar nichts anfangen!
Danke!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Di 04.01.2005 | | Autor: | magni |
Hi,
"Normalenvektoren", sind Vektoren, die senkrecht auf einer Ebene stehen.
Einheitsvektor heißt, dass seine Länge genau 1 ist, d.h. |v| = 1.
Um den NormalenVektor zu bestimmen, musst du einen vektor finden, der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren einer Ebene steht.
=> RichtungsVekA * NormalenVek = 0 und RichtungsVekB * NormalenVek = 0.
Kannst es entweder mit nem LGS lösen oder mit dem Kreuzprodukt.
Gruß
Magni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Do 06.01.2005 | | Autor: | astro78 |
Danke für die schnelle Antwort.
> "Normalenvektoren", sind Vektoren, die senkrecht auf einer
> Ebene stehen.
> Einheitsvektor heißt, dass seine Länge genau 1 ist, d.h.
> |v| = 1.
Das habe ich verstanden, also praktisch das Kreuzprodukt.
Aber was meinst Du hiermit?:
> Um den NormalenVektor zu bestimmen, musst du einen vektor
> finden, der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren
> einer Ebene steht.
> => RichtungsVekA * NormalenVek = 0 und RichtungsVekB *
> NormalenVek = 0.
Wieso sind die gleich 0?
In anderen Quellen habe ich folgende Definition gefunden:
> Einen Normaleneinheitsvektor findet man, indem man das Kreuzprodukt der Vektoren bildet, die die Ebene aufspannen, und dieses durch das Produkt der Beträge dieser Vektoren dividiert. Den zweiten findet man (im 3-dim. VR) durch Multiplikation des ersten mit dem Faktor -1, alle weiteren Normalenvektoren durch Multiplikation mit einem beliebigen anderen Faktor t?0.<
Bzgl. meiner Aufgabe gibt also mehrere?
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Beim Normalenvektor meint ihr dasselbe. Der Normalenvektor auf eine Ebene berechnet sich aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren dieser Ebene, das stimmt. Magni hatte sich auf das Skalarprodukt bezogen: zwei Vektoren [mm]\vec{a}\not=\vec{0}[/mm], [mm]\vec{b}\not=\vec{0}[/mm] sind dann senkrecht zueinander, wenn [mm]\vec{a} \cdot \vec{b} =0[/mm] gilt.
Gibt es mehrere? Jein. Mit der LGS-Methode von magni bekommt du ein LGS mit 2 Gleichungen, und 3 Unbekannten. Das liegt daran, dass die Richtung schon eindeutig bestimmt ist ("Hauptsache senkrecht"), die Länge aber nicht.
Durch das Kreuzprodukt bekommst du direkt nur einen Vektor, aber auch den kannst du in der Länge noch beliebig kürzen oder verlängern (z.B. aus [mm]\vektor{10 \\ -20 \\ 30}[/mm] den Vektor [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 3}[/mm] machen).
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