Normale, größt Entfernung < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Di 04.07.2006 | | Autor: | Jaguar |
| Aufgabe | b] P sei ein beliebiger punkt auf dem 1. Feld verlaufenden Bogen der Parabel mit der Gleichung y= [mm] -x^2+2. [/mm] Die Normale in P schneidet die x-Achse in S. Für welchen Punkt [mm] P_0 [/mm] auf dem genannten Parabelbogen liegt S am weitesten "links" ? [/b]
|
hi zusammen,
hab heute ein extremwertproblem vorgelegt bekommen und irgendwie komm ich nicht so recht weiter.
folgendende aufgabenstellung liegt vor:
kann mir irgendjemand nen ansatz liefern?
ich habe es schon mit der Normalenfunktion versucht, hänge dann aber bei der zweiten fehlenden variablen.
ich weiß das S ( x|0) und P [mm] (x_0|f(x_0)) [/mm] ist.
wäre euch sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Di 04.07.2006 | | Autor: | Teufel |
Du könntest versuchen die allgemeine Normalengleichung durch die Punkte erstmal aufzustellen... dann denn Schnittpunkt mit der x-Achse damit berechnen. Wenn dud as schon versucht hast, sorry, aber ich kann grad nicht nachrechnen :) mach ich später
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich werde die Aufgabe mal ein bissl anlösen und versuche so viel frei zu lassen wie ich kann, aber vlt. bin ich ein bissl übereifrig und löse es gleich ganz, aber ich versuche mich zurück zu halten.
Also P hat die Koordinaten [mm] (x_{0};f(x_{0}) [/mm] wobei wir jetzt nur x>0 betrachten.
Also die Funktion lautet [mm] f(x)=-x^{2}+2 [/mm] die erste Ableitung ist
[mm] f'(x_{0})=-2x. [/mm] Also ist der Anstieg an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] gleich [mm] -2x_{0}
[/mm]
und damit ist der Anstieg der Normalen an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] gleich [mm] \bruch{1}{2x}, [/mm] ich hoffe du kennst solche Anstiegsbeziehung zwischen 2 Orthogonalen Geraden.
Dann musst du noch den Durchgang an der y-Achse suchen über die Gleichung y=m*x+n. Dabei musst du die oben genannten Koordinaten des Punktes P einsetzen
[mm] -x_{0}^{2}+2=\bruch{1}{2x_{0}}*x_{0}+n
[/mm]
Das stellst du noch n um und hast somit die Gleichung für die Normale in Abhängigkeit von der Stelle [mm] x_{0}.
[/mm]
Davon suchst du dann die Nullstellen und erhälst du Koordinaten des Punktes S, wobei du die Gleichung die du hast nach x umstellen musst nicht nach [mm] x_{0}.
[/mm]
Dann bekomme ich für den Punkt [mm] S(2x_{0}(x_{0}^{2}-\bruch{3}{2});0)
[/mm]
heraus.
Und dann betrachtest du nur die x-Koordinate als Funktion, die den Abstand des Punktes S vom Ursprung angibt.
Diese Funktion musst du dann noch nach einem Minimum untersuchen, da der am weitesten links liegende Punkt wahrscheinlich links vom Ursprung liegt und somit negativ ist. Lass dir einfach den Graph zeigen und du wirst sehen, dass er ein Minimum besitzt, wenn du alles richtig gemacht hast.
Dabei musst du aufpassen, dass du nur positive x betrachest und nicht negative.
Das war es erstmal von mir, wenn du möchtest kann ich noch ein paar Lösungen schreben oder wenn du noch Fragen hast, vlt. weil du etwas nicht verstanden hast, dann schreib es auch einfach hier rein.
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:54 Mi 05.07.2006 | | Autor: | Jaguar |
mit orthogonalen, normalen und steigungen kenn ich mich schon aus, aber wenn ich ehrlich bin fällt es mir trotzdem schwer dir zu folgen ^^ .. zumindest ab dem punkt in dem ich nach n auflöse. soweit hab ich das schon, aber dann weiß ich nicht mehr was du genau meinst.
ich hätt sogar die lösung zu der aufgabe, aber das bringt mir halt nichts wenn ich nicht weiß wie ich drauf komme ^^
P müsste an der stelle [mm] (0,5\wurzel{2} [/mm] |3/2) sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Mi 05.07.2006 | | Autor: | riwe |
wie gezeigt lautet die gleichung der normalen [mm]y-y_0=\frac{1}{2x_0}(x-x_0)[/mm] mit [mm] P(x_0/y_0).
[/mm]
nun setzt du [mm] y_0 =-x_0^{2}+2 [/mm] ein und bestimmst den schnittpunkt mit der x-achse S, also y = 0.
das ergibt f(x) = [mm] 2x_0^{3}-3x_0 \rightarrow [/mm] MAX(MIN), differenzieren und x > 0 berücksichtigen, und du hast dein wunschresultat.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
