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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 So 21.06.2015 | | Autor: | Neutron |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IC^{n,n}. [/mm] Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
a) Sei A invertierbar. Dann ist A genau dann normal, wenn [mm] A^{-1} [/mm] normal ist.
b) Sei U [mm] \in \IC^{n,n} [/mm] unitär. Dann ist A genau dann normal, wenn [mm] U^{H}AU [/mm] normal ist.
c) A ist genau dann normal, wenn für jede Matrix B mit AB = BA folgt [mm] A^{H}B [/mm] = [mm] BA^{H}. [/mm] |
Hallo,
wäre sehr dankbar wenn ihr mir bei den Aufgaben einen Ansatz geben könntet.
Die Definition von Normalität [mm] (A^{H}A [/mm] = [mm] AA^{H} [/mm] bzw. [mm] A^{ad}A [/mm] = [mm] AA^{ad}) [/mm] kenn ich. Bei der a) weis ich jedoch nicht, weich das in Zusammenhang mit der Inversen von A bringen soll.
Bei b) und c) steh ich komplett aufm Schlauch....
Neutron
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 So 21.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei A [mm]\in \IC^{n,n}.[/mm] Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
> a) Sei A invertierbar. Dann ist A genau dann normal, wenn
> [mm]A^{-1}[/mm] normal ist.
> b) Sei U [mm]\in \IC^{n,n}[/mm] unitär. Dann ist A genau dann
> normal, wenn [mm]U^{H}AU[/mm] normal ist.
> c) A ist genau dann normal, wenn für jede Matrix B mit AB
> = BA folgt [mm]A^{H}B[/mm] = [mm]BA^{H}.[/mm]
> Hallo,
> wäre sehr dankbar wenn ihr mir bei den Aufgaben einen
> Ansatz geben könntet.
>
> Die Definition von Normalität [mm](A^{H}A[/mm] = [mm]AA^{H}[/mm] bzw.
> [mm]A^{ad}A[/mm] = [mm]AA^{ad})[/mm] kenn ich. Bei der a) weis ich jedoch
> nicht, weich das in Zusammenhang mit der Inversen von A
> bringen soll.
Was ist denn [mm] (A^{-1})^H [/mm] für eine invertierbare Matrix A ? Und was ist [mm] (A^H)^{-1} [/mm] ?
>
> Bei b) und c) steh ich komplett aufm Schlauch....
b) Setzte $B:= [mm] U^{H}AU [/mm] $
Jetzt rechne nach:
1. aus $ [mm] A^{H}A [/mm] $ = $ [mm] AA^{H} [/mm] $ folgt $ [mm] B^{H}B [/mm] $ = $ [mm] BB^{H} [/mm] $
2. aus $ [mm] B^{H}B [/mm] $ = $ [mm] BB^{H} [/mm] $ folgt $ [mm] A^{H}A [/mm] $ = $ [mm] AA^{H} [/mm] $
c) die Richtung [mm] \Leftarrow [/mm] ist klar: nimm B=A
Zu [mm] \Rightarrow [/mm] mach Du auch mal was,
FRED
>
> Neutron
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mo 22.06.2015 | | Autor: | Neutron |
Danke für deine Hilfe,
die b) hab ich gelöst und an der c) arbeite ich gerade.
Was ich jedoch nicht verstehe ist was du bei a) mit [mm] (A^{-1})^{H} [/mm] und [mm] (A^{H})^{-1} [/mm] meinst, was das für Matrizen sind. Da nicht gegeben ist, dass A hermetisch sein soll, sind sie nicht gleich würde ich sagen. Ich würde mit [mm] A^{-1}(A^{-1})^{H} [/mm] = [mm] A^{-1}((\overline{A})^{-1})^{T} [/mm] anfangen. Jedoch weis ich schon ab hier nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Mo 22.06.2015 | | Autor: | fred97 |
Für eine invertierbare Matrix $A$ ist
$ [mm] (A^{-1})^{H} [/mm] = [mm] (A^{H})^{-1} [/mm] $ .
Das wollte ich von Dir hören (ähh.. lesen)
FRED
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