Normale Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 So 19.05.2013 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Mich beschäftigt die Frage, ob es eine Matrix [mm] \in M_3 [/mm] (C) gibt, die zwar normal ist, aber weder unitär noch hermitsch? |
Hallo.
Für den reellen Fall für ich die Existenz schonmal ausschließen, aber für den komlexen Fall bin ich mir nicht sicher... Gibt es eine solche Matrix?
|
|
| |
|
hi,
Hermitesche Matrizen sind stets normal:
[mm]AA^\star=A^\star A[/mm]
unitäre Matrizen sind stets normal:
[mm]U^\star U=E=UU^\star[/mm]
Schief-hermitesche matrizen sind normal.
> Gibt es eine solche Matrix
nein (siehe meinen anderen Post:https://matheraum.de/read?i=967622)
Gruß
wieschoo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 So 19.05.2013 | | Autor: | rollroll |
Hallo,
aber es ist doch nicht jede normale Matrix unitär. Und nicht jede normale Matrix ist hermitsch. Die Frage ist ja jetzt, ob es eine normale Mtarix gibt, die weder zu einer unitären noch zu einer hermitschen Matrix proportional ist (in C).
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Jo,
habe ich wohl verkehrt herum gelesen. Sorry.
probier mal
$A=\pmat{i&0\\0&i}$ für ein Gegenbeispiel für normal und hermitesch.
Oder allgemein (für beides):
$B=\pmat{a&-d\\a&d}$. Dann ist nämlich
$B^\star B=BB^\star = \pmat{2\overline{a}a&0\\0&2\overline{d}d$
und
$\overline{B}^T$ wie üblich. Konkret kannst du $\pmat{i&-3\\i & 3}$ betrachten. Jedes Gegenbeispiel sollte komplexe Eigenwerte haben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 So 19.05.2013 | | Autor: | rollroll |
Ok, danke. Ich suche allerdings nach einer 3x3-Matrix die dies erfüllt.
Würde es genügen, wenn ich eine Matrix konstruiere, die komplexe Eigenwerte hat, die nicht den Betrag 1 haben? Dann wäre die Matrix ja nicht hermitesch (die hat nur relle EW) und nicht unitär (deren EW haben Betrag 1). Wie kann ich dann noch sicherstellen dass die entsprechende Matrix auch noch normal ist?
Grüße
|
|
|
| |
|
> Ok, danke. Ich suche allerdings nach einer 3x3-Matrix die
> dies erfüllt.
Mein erster Versuch wäre [mm] $ \pmat{i&-3\\i & 3} [/mm] $ entsprechend zu einer 3x3 Matrix zu erweitern.
>
> Würde es genügen, wenn ich eine Matrix konstruiere, die
> komplexe Eigenwerte hat, die nicht den Betrag 1 haben? Dann
> wäre die Matrix ja nicht hermitesch (die hat nur relle EW)
> und nicht unitär (deren EW haben Betrag 1). Wie kann ich
> dann noch sicherstellen dass die entsprechende Matrix auch
> noch normal ist?
Indem du das LGS löst, welches sich aus der entsprechenden Eigenschaft ergibt.
>
> Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 So 19.05.2013 | | Autor: | rollroll |
Hallo.
Um ehrlich zu sein, ist mir nicht ganz klar, welches LGS sich da ergeben soll? Ich hätte jetzt einfach deine Matrix so zu einer 3x3-Matrix erweitert, dass ich sie mit Nullen „auffülle“.
Funktioniert nicht eigentlich auch einfach die Matrix [mm] \pmat{ i & i & i \\ i & i & i \\ i & i & i}?
[/mm]
Grüße
|
|
|
| |
|
> Hallo.
>
>
> Um ehrlich zu sein, ist mir nicht ganz klar, welches LGS
> sich da ergeben soll? Ich hätte jetzt einfach deine Matrix
> so zu einer 3x3-Matrix erweitert, dass ich sie mit Nullen
> „auffülle“.
[mm] $AA^\star=A^\star [/mm] A$ ist ein LGS.
> Funktioniert nicht eigentlich auch einfach die Matrix
> [mm]\pmat{ i & i & i \\ i & i & i \\ i & i & i}?[/mm]
Nachrechnen kannst die Eigenschaften doch hier selber?!
>
> Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 19.05.2013 | | Autor: | rollroll |
Hallo, danke schonmal für die Antwort!
Geht dann z.B. [mm] \pmat{ 2i & 0 & 0 \\ 0 & 2i &0 \\ 0 & 0 & 2i }?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:20 Mo 20.05.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Geht dann z.B. [mm]\pmat{ 2i & 0 & 0 \\ 0 & 2i &0 \\ 0 & 0 & 2i }?[/mm]
Ja.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Mo 20.05.2013 | | Autor: | rollroll |
Hallo nochmal.
Mir fällt gerade auf, dass diese Matrix auch nicht geht. Denn ich suche ja eine normale Matrix, die weder zu einer unitären noch zu einer hermiteschen proportional ist....
D.h. eine solche Diagonalmatrix funktioniert nicht...
|
|
|
| |
|
> Hallo nochmal.
>
> Mir fällt gerade auf, dass diese Matrix auch nicht geht.
> Denn ich suche ja eine normale Matrix, die weder zu einer
> unitären noch zu einer hermiteschen proportional ist....
Was heißt proportional?
>
> D.h. eine solche Diagonalmatrix funktioniert nicht...
Die angegebene Matrix ist doch normal, nicht hermitesch und nicht unitär. Was soll da "nicht gehen"?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:34 Mo 20.05.2013 | | Autor: | rollroll |
naja, im Skript steht: Es gib eine Matrix A [mm] \in M_3 [/mm] (C), die normal, aber weder zu einer hermitschen Matrix noch zu einer unitären proportional ist...
Und ich habe das mit dem proportional so verstanden, dass z.B. die Matrix, die ich angegeben hatte, ja aus der Einheitsmatrix durch Multiplikation mit 2i hervorgeht. Und somit proportional z.B. zu einer hemiteschen Matrix wäre...
Oder wie ist das mit dem proportional zu verstehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Mo 20.05.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> naja, im Skript steht: Es gib eine Matrix A [mm]\in M_3[/mm] (C),
> die normal, aber weder zu einer hermitschen Matrix noch zu
> einer unitären proportional ist...
Du kannst uns ja mal aufklaeren, was proportional heisst.
> Und ich habe das mit dem proportional so verstanden, dass
> z.B. die Matrix, die ich angegeben hatte, ja aus der
> Einheitsmatrix durch Multiplikation mit 2i hervorgeht. Und
> somit proportional z.B. zu einer hemiteschen Matrix
> wäre...
Dann nimm doch eine Matrix mit 2i und 1 auf der Diagonalen. Egal wie du sie skalierst, du bekommst nicht beide Werte gleichzeitig reell (es sei denn du skalierst mit 0, aber das ist sicher ausgeschlossen) und auch nicht beide gleichzeitig auf Betrag 1.
> Oder wie ist das mit dem proportional zu verstehen?
Ohne Definition koennen wir dir da nichts konkretes sagen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Mo 20.05.2013 | | Autor: | rollroll |
Also proportional soll bedeuten: A ist prop zu B , wenn A = cB mit c [mm] \in [/mm] K.
Habe ich deinen vorherigen Post richtig verstanden, das die Matrix
[mm] \pmat{ n i & 0 & 0 \\ 0 & ni & 0 \\ 0 & 0 & j} [/mm] mit n>1, n [mm] \in [/mm] IN und j>0 , j [mm] \in [/mm] IN immer funktioniert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mo 20.05.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also proportional soll bedeuten: A ist prop zu B , wenn A =
> cB mit c [mm]\in[/mm] K.
>
> Habe ich deinen vorherigen Post richtig verstanden, das
> die Matrix
>
> [mm]\pmat{ n i & 0 & 0 \\ 0 & ni & 0 \\ 0 & 0 & j}[/mm] mit n>1, n
> [mm]\in[/mm] IN und j>0 , j [mm]\in[/mm] IN immer funktioniert?
Solange nicht $n = j$ ist, ja. Ansonsten ist sie proportional zu einer unitaeren Matrix.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mo 20.05.2013 | | Autor: | rollroll |
Ok, vielen Dank. Noch eine letzte Frage:
Gibt es so eine Matrix auch in [mm] M_3 [/mm] (IR) ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Mo 20.05.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok, vielen Dank. Noch eine letzte Frage:
>
> Gibt es so eine Matrix auch in [mm]M_3[/mm] (IR) ?
Ja. Tipp: [mm] $\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }$ [/mm] ist normal und hat die Eigenwerte $i$ und $-i$. Damit kannst du jetzt eine $3 [mm] \times [/mm] 3$ normale Matrix konstruieren die die Eigenwerte $i$, $-i$ und $2$ hat.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mo 20.05.2013 | | Autor: | rollroll |
Hallo,
dann hätte man [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }. [/mm] Mir ist klar, dass die normal und nicht unitär / hermitesch ist. Aber kann man auch sicher sein, dass sie nicht zu einer hermiteschen / unitären Matrix proportional ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Mo 20.05.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> dann hätte man [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }.[/mm]
> Mir ist klar, dass die normal und nicht unitär /
> hermitesch ist. Aber kann man auch sicher sein, dass sie
> nicht zu einer hermiteschen / unitären Matrix proportional
> ist?
Bestimm doch die Eigenwerte. Die Eigenwerte von $c [mm] \cdot [/mm] A$ (wenn $A$ die obige Matrix sind) sind dann $c [mm] \cdot \lambda$, [/mm] wobei [mm] $\lambda$ [/mm] die Eigenwerte von $A$ durchlaeuft. Damit kannst du sofort sehen, dass $A$ weder proportional zu einer hermitschen noch proportional zu einer unitaeren Matrix ist.
LG Felix
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Spektralsatz