Norm und Vielfaches von Vektor < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
Es sei [mm] \parallel [/mm] a +b [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] a [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] b [mm] \parallel. [/mm] (die Norm im euklidischen Raum (V, <.,.>). a,b [mm] \in [/mm] V die Vektoren.
z.z: a= s * b s [mm] \in [/mm] (0,1) [mm] \subseteq \IR [/mm] (d.h . a und b sind positive reelle Vielfache voneinander )
Ist diese Aussage ( a= s*b ) äquivalent zu: a und b sind linear abhängig?
Wenn ja , dann habe ich einen ähnlichen Ansatz gesehen , wie :
Da man zeigen möchte , dass a,b linear abhängig sind , folgt, dass man die
lineare Abhängigkeit über [mm] \lambda_{1} [/mm] a + [mm] \lambda_{2} [/mm] b = 0 zeigt .
Ich könnte mir vorstellen, dass man [mm] \parallel \lambda_{1} [/mm] a + [mm] \lambda_{2} [/mm] b [mm] \parallel [/mm] = 0 mit geigneten Koeffizienten [mm] \lambda_{1,2} [/mm] bildet und dann argumentiert man , dass aus [mm] \lambda_{1} [/mm] a + [mm] \lambda_{2} [/mm] b = 0 die lineare Abhängigkeit heraus kommt.
Die Frage ist , wie bekomme ich so einen Ausdruck wie [mm] \parallel \lambda_{1} [/mm] a + [mm] \lambda_{2} [/mm] b [mm] \parallel [/mm] =...=...= 0 ?
MfG
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Mi 06.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
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> Es sei [mm]\parallel[/mm] a +b [mm]\parallel[/mm] = [mm]\parallel[/mm] a [mm]\parallel[/mm] +
> [mm]\parallel[/mm] b [mm]\parallel.[/mm] (die Norm im euklidischen Raum (V,
> <.,.>). a,b [mm]\in[/mm] V die Vektoren.
>
> z.z: a= s * b s [mm]\in[/mm] (0,1) [mm]\subseteq \IR[/mm] (d.h . a und b
> sind positive reelle Vielfache voneinander )
>
Fang mal wie folgt an:
[mm] \parallel\vec{a}+\vec{b}\parallel
[/mm]
[mm] =\parallel s*\vec{b}+\vec{b}\parallel
[/mm]
[mm] =\parallel (s+1)*\vec{b}\parallel
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Andererseits gilt:
[mm] =\parallel\vec{a}\parallel+\parallel\vec{b}\parallel
[/mm]
[mm] =\parallel s*\vec{b}\parallel+\parallel\vec{b}\parallel
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Kannst du die beiden Ansätze zusammenpuzzlen?
> Ist diese Aussage ( a= s*b ) äquivalent zu: a und b sind
> linear abhängig?
Das heisst [mm] \vec{a}\parallel\vec{b}
[/mm]
Wenn du jetzt die Einschränkung 0<s<1 nimmst, kannst du sogar etwas über die Länge der Vektoren sagen.
Marius
> Wenn ja , dann habe ich einen ähnlichen Ansatz gesehen ,
> wie :
> Da man zeigen möchte , dass a,b linear abhängig sind ,
> folgt, dass man die
> lineare Abhängigkeit über [mm]\lambda_{1}[/mm] a + [mm]\lambda_{2}[/mm] b =
> 0 zeigt .
> Ich könnte mir vorstellen, dass man [mm]\parallel \lambda_{1}[/mm]
> a + [mm]\lambda_{2}[/mm] b [mm]\parallel[/mm] = 0 mit geigneten
> Koeffizienten [mm]\lambda_{1,2}[/mm] bildet und dann argumentiert
> man , dass aus [mm]\lambda_{1}[/mm] a + [mm]\lambda_{2}[/mm] b = 0 die
> lineare Abhängigkeit heraus kommt.
> Die Frage ist , wie bekomme ich so einen Ausdruck wie
> [mm]\parallel \lambda_{1}[/mm] a + [mm]\lambda_{2}[/mm] b [mm]\parallel[/mm]
> =...=...= 0 ?
>
> MfG
> Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo M.Rex,
1)wie du es geschrieben hast , würde bedeuten, dass Du a = s*b schon als gegeben voraussetzt. Jedoch , laut der Aufgabenstellung sollte man das zeigen. Oder?
2) bedeutet a [mm] \parallel [/mm] b , dass aund b parallel zueinander sind? Bedeutet das nicht , dass sie allgemein linear abhängig sind?
MfG
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Mi 06.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo M.Rex,
>
> 1)wie du es geschrieben hast , würde bedeuten, dass Du a =
> s*b schon als gegeben voraussetzt. Jedoch , laut der
> Aufgabenstellung sollte man das zeigen. Oder?
Yep. Du hast recht.
Du kannst hier aber die Dreiecksungleichung nutzen.
Es gilt ja laut Dreiecksungleichung:
[mm] \parallel\vec{a}\parallel+\parallel\vec{b}\parallel\ge\parallel\vec{a}+\vec{b}\parallel
[/mm]
Hier soll aber gelten:
[mm] \parallel\vec{a}\parallel+\parallel\vec{b}\parallel\red{=}\parallel\vec{a}+\vec{b}\parallel
[/mm]
Was kann man dann über die Ausrichtungen von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] aussagen?
>
> 2) bedeutet a [mm]\parallel[/mm] b , dass aund b parallel zueinander
> sind? Bedeutet das nicht , dass sie allgemein linear
> abhängig sind?
Klar, Parallelität ist ein Spezialfall der Linearen Abhängigkeit.
> MfG
> Igor
>
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Mi 06.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> 1)wie du es geschrieben hast , würde bedeuten, dass Du a =
> s*b schon als gegeben voraussetzt. Jedoch , laut der
> Aufgabenstellung sollte man das zeigen. Oder?
Ergänzung: du musst Eigenschaften des Skalarprodukts verwenden, um die Aussage zu zeigen. Nur mit Eigenschaften der Norm kommst du nicht weiter - da ist die Aussage auch falsch!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Igor1 |
könnt ihr vielleicht erklären, wie man ansatzweise mit der Aufgabe anfangen soll?
Dass man hier Skalarprodukt benutzen soll, ist relativ klar, da die Norm so definiert ist.
Wie die Vektoren sich zueinander verhalten sollten , ist ja auch schon klar: a und b sind postives reelles Vielfaches voneinander ( zu zeigen) und somit sind sie parallel zueinander .
Und wie kann man mit dieser Information und der Gleichung [mm] \parallel [/mm] a+b [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] a [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] b [mm] \parallel [/mm] konkrete Fortschritte machen?
Das Ziel ist halt a= s*b zu zeigen. Welches Zwischenziel(!) sollte ich jetzt anstreben? Bzw. was sollte man bei der Aufgabe noch besonderes kennen? Oder ist es nur leichte Umformung der Gleichung der Norm? ( mit welchem Zwischenziel dann?)
MfG
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Do 07.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> könnt ihr vielleicht erklären, wie man ansatzweise mit der
> Aufgabe anfangen soll?
> Dass man hier Skalarprodukt benutzen soll, ist relativ
> klar, da die Norm so definiert ist.
Naja, man könnte nur Normeigenschaften benutzen - das geht aber nicht. Jetzt überfliege mal alle Regeln, die ihr zum SKP bisher hattet, quadriere die zu beweisene Aussage und setze entsprechend ein. Btw: die Aufagbe ist ein bisschen falsch, denn offenbar ist s einfach nur eine positive Zahl, da man die Rollen von a und b vertauschen kann.
SEcki
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