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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Di 02.04.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit der Orthonormalbasis und bin dabei auf ein Problem gestossen.
Es geht dabei um die Norm der Matrix [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 4 }
[/mm]
Meiner Ansicht nach wäre die Norm folgendes:
[mm] \wurzel{2^{2}+4^{2}} =\wurzel{16}
[/mm]
In der Lösung steht nun aber 2*2+2*4*4 unter der Wurzel.
Warum ist das so? Ist die Norm bei Matrizen anders definiert als bei Vektoren?
Gruß und Dank vorab!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Di 02.04.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo,
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> ich beschäftige mich gerade mit der Orthonormalbasis und
> bin dabei auf ein Problem gestossen.
>
> Es geht dabei um die Norm der Matrix [mm]\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 4 }[/mm]
>
> Meiner Ansicht nach wäre die Norm folgendes:
> [mm]\wurzel{2^{2}+4^{2}} =\wurzel{16}[/mm]
>
> In der Lösung steht nun aber 2*2+2*4*4 unter der Wurzel.
> Warum ist das so? Ist die Norm bei Matrizen anders
> definiert als bei Vektoren?
es gibt nicht 'die' Norm, weder bei Vektoren noch bei Matrizen. Man kann verschiedene Normen definieren. Das kannst Du z.B. bei ![[]](/images/popup.gif) Wiki nachlesen.
>
> Gruß und Dank vorab!
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Di 02.04.2013 | | Autor: | poeddl |
Na ja, es handelt sich um die Standardnorm.
Aber trotz deines Links zu Wikipedia kann ich mir die Lösung nicht erschließen, also wie man darauf kommt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Di 02.04.2013 | | Autor: | notinX |
> Na ja, es handelt sich um die Standardnorm.
Ich weiß leider nicht, was die Standardnorm sein soll.
>
> Aber trotz deines Links zu Wikipedia kann ich mir die
> Lösung nicht erschließen, also wie man darauf kommt...
Du hast die Frage doch selbst beantwortet, es handelt sich Deiner Aussage nach um die Standardnorm. Da Du sie zu kennen scheinst, wirst Du vermutlich auch deren Definition kennen. Wenn sich die Definition nicht mit der Lösung deckt, ist eines von beiden falsch.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Mi 03.04.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
meine Definition ist die folgende:
Jeden Eintrag in der Matrix quadrieren, die Quadrate addieren und anschliessend die Wurzel ziehen.
Wird bei uns im Skript bei Vektoren als Standardnorm bezeichnet.
Ich dachte, das könnte man einfach auf Matrizen übertragen, aber offensichtlich ist dem nicht so. Hast du eine Ahnung, welche Norm
das im obigen Beispiel ist, bzw wo mein Fehler liegt?
Gruss
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Hi!
> meine Definition ist die folgende:
>
> Jeden Eintrag in der Matrix quadrieren, die Quadrate
> addieren und anschliessend die Wurzel ziehen.
Das sollte die Frobeniusnorm sein.
> Ich dachte, das könnte man einfach auf Matrizen
> übertragen, aber offensichtlich ist dem nicht so.
Die Frobeniusnorm ist eine Matrixnorm.
Sieh dir dazu nochmal den Link von notinx an.
und das hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Frobeniusnorm
> eine Ahnung, welche Norm
> das im obigen Beispiel ist, bzw wo mein Fehler liegt?
Nein. Vielleicht ist deine Musterlösung falsch?
Valerie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Mi 03.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich beschäftige mich gerade mit der Orthonormalbasis
Mit welcher ?
> und
> bin dabei auf ein Problem gestossen.
>
> Es geht dabei um die Norm der Matrix [mm]\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 4 }[/mm]
>
> Meiner Ansicht nach wäre die Norm folgendes:
> [mm]\wurzel{2^{2}+4^{2}} =\wurzel{16}[/mm]
>
> In der Lösung steht nun aber 2*2+2*4*4 unter der Wurzel.
> Warum ist das so? Ist die Norm bei Matrizen anders
> definiert als bei Vektoren?
>
> Gruß und Dank vorab!
Wenn Du auf dem [mm] \IR^n [/mm] ein Skalarprodukt <*|*> gegeben hast (davon gehe ich aus, weil Du oben von "Orthonormalbasen " sprichst), so induziert dieses auf dem [mm] \IR^n [/mm] eine Norm [mm] ||*||_S:
[/mm]
$ [mm] ||u||_S:=\wurzel{}$
[/mm]
Mit dieser Norm kann man nun auf dem Raum der nxn - Matrizen wie folgt eine Norm definieren:
(*) ||A||:= max [mm] \{ ||A*u||_S: u \in \IR^n, ||u||_S=1\}.
[/mm]
Fragen an Dich:
1. Hast Du auf [mm] \IR^2 [/mm] ein Skalarprodukt gegeben ?
2. Wenn ja , welches ?
3. Hattet Ihr die Def. (*) ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 Mi 03.04.2013 | | Autor: | poeddl |
Ich poste einfach mal den Link zur Klausur.
Es handelt sich um Aufgabe 6b direkt der erste Schritt.
http://docs.freitagsrunde.org/Klausuren/Lineare_Algebra_fuer_Ingenieure/2011.10_klausur_loes.pdf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Mi 03.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Warum nicht gleich so ?
Es liegt also der Vektorraum
[mm] $V:=\{A \in \IR^{2 \times 2}: A \quad ist \quad diagonal \}$
[/mm]
zugrunde.
V wird mit dem Skalarprodukt
[mm] <\pmat{ a_1 & 0 \\ 0 & a_2 }|\pmat{ b_1 & 0 \\ 0 & b_2 }>_{M_1}:=a_1b_1+2a_2b_2
[/mm]
ausgestattet.
Dieses Skalarprodukt induziert die folgende Norm auf V:
[mm] $||A||=\wurzel{_{M_1}}$
[/mm]
Ist [mm] A=\pmat{ a_1 & 0 \\ 0 & a_2 }, [/mm] so ist also
$||A||= [mm] \wurzel{a_1^2+2a_2^2}$
[/mm]
FRED
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