Norm auf stetigen Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Mi 28.04.2010 | | Autor: | jboss |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Betrachten Sie den Vektorraum $C\left[a,b\right]$ aller stetigen Funktionen $f:\left[a,b\right] \rightarrow \IC$.
a) Entscheiden Sie, ob $|| f ||_{1} := \integral_{a}^{b} |f(x)|\ dx$ eine Norm auf $C\left[a,b\right]$ definiert.
b) Entscheiden Sie, ob $|| f ||_{2} := \left(\integral_{a}^{b} |f(x)|^2\ dx\right)^{1/2}$ eine Norm auf $C\left[a,b\right]$ definiert. |
Hallo,
wir hatten in der Vorlesung folgenden Satz:
Seien $a < b \in \IR$. $C\left[a,b\right] = \{f:\left[a,b\right] \rightarrow \IC \ \text{stetig}\}$ sei mit p-Norm $|| f ||_{p} := \left(\integral_{a}^{b} |f(x)|^p\ dx\right)^{1/p}}$ mit $p \in \left[1, \infty\right)$ versehen. Dies ist eine Norm.
Nach diesem Satz wären $||f||_1$ und $||f||_2$ Spezialfälle mit $p = 1$ bzw. $p=2$.
Nun möchte ich das aber gern per pedes zeigen, also durch Nachweis der axiomatischen Bedingungen.
Konkret für $||f||_2$:
1. Nachweis der Definitheit
Sei $f \in C\left[a,b\right]$ mit $f(x) = 0 \ \forall x \in \left[a,b\right]$.
$||f||_2 = \left(\integral_{a}^{b} \underbrace{|f(x)|^2}_{=0} \ dx\right)^{1/2} = 0$
Sei nun $f \in C\left[a,b\right]$ so, dass f nicht die Nullfunktion ist.
$||f||_2 = \left(\integral_{a}^{b} |f(x)|^2 \ dx\right)^{1/2} = \dots$
Wie kann ich hier zeigen, dass das Integral $> 0$ ist? Wenn f nicht die Nullfunktion ist, so gibt es mindestens ein $x \in \left[a,b\right]$ mit $f(x) \not= 0$. Ich habe jedoch noch keine Idee, wie ich das hier verwerten könnte. 
2. Nachweis der Homogenität
Sei $f \in C\left[a,b\right]$ stetige Funktion und $\lambda \in \IC$.
Dann: $||\lambda \cdot f||_2 = \left(\integral_{a}^{b} |\lambda \cdot f(x)|^2 \ dx\right)^{1/2} = \left(\integral_{a}^{b} |\lambda|^2 \cdot |f(x)|^2 \ dx\right)^{1/2} = \left(|\lambda|^2 \ \integral_{a}^{b} \cdot |f(x)|^2 \ dx\right)^{1/2} = |\lambda| \cdot \left(\ \integral_{a}^{b} \cdot |f(x)|^2 \ dx\right)^{1/2} = |\lambda| \cdot ||f||_2$
2. Dreiecksungleichung
Seien $f, g \in C\left[a,b\right]$.
$||f+g||_2 = \left(\integral_{a}^{b} |f(x) + g(x)|^2 \ dx\right)^{1/2} \le \left(\integral_{a}^{b} |f(x)|^2 \ dx\right)^{1/2} + \left(\integral_{a}^{b} |g(x)|^2 \ dx\right)^{1/2} = ||f||_2 + ||g||_2$
Dabei ergibt sich die Abschätzung aus der Minkowski-Ungleichung für Integrale.
Ist das soweit richtig oder absoluter Blödsinn? 
Gruss
jboss
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Mi 28.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Betrachten Sie den Vektorraum [mm]C\left[a,b\right][/mm] aller
> stetigen Funktionen [mm]f:\left[a,b\right] \rightarrow \IC[/mm].
>
> a) Entscheiden Sie, ob [mm]|| f ||_{1} := \integral_{a}^{b} |f(x)|\ dx[/mm]
> eine Norm auf [mm]C\left[a,b\right][/mm] definiert.
>
> b) Entscheiden Sie, ob [mm]|| f ||_{2} := \left(\integral_{a}^{b} |f(x)|^2\ dx\right)^{1/2}[/mm]
> eine Norm auf [mm]C\left[a,b\right][/mm] definiert.
> Hallo,
> wir hatten in der Vorlesung folgenden Satz:
> Seien [mm]a < b \in \IR[/mm]. [mm]C\left[a,b\right] = \{f:\left[a,b\right] \rightarrow \IC \ \text{stetig}\}[/mm]
> sei mit p-Norm [mm]|| f ||_{p} := \left(\integral_{a}^{b} |f(x)|^p\ dx\right)^{1/p}}[/mm]
> mit [mm]p \in \left[1, \infty\right)[/mm] versehen. Dies ist eine
> Norm.
>
> Nach diesem Satz wären [mm]||f||_1[/mm] und [mm]||f||_2[/mm] Spezialfälle
> mit [mm]p = 1[/mm] bzw. [mm]p=2[/mm].
>
> Nun möchte ich das aber gern per pedes zeigen, also durch
> Nachweis der axiomatischen Bedingungen.
> Konkret für [mm]||f||_2[/mm]:
>
> 1. Nachweis der Definitheit
> Sei [mm]f \in C\left[a,b\right][/mm] mit [mm]f(x) = 0 \ \forall x \in \left[a,b\right][/mm].
>
> [mm]||f||_2 = \left(\integral_{a}^{b} \underbrace{|f(x)|^2}_{=0} \ dx\right)^{1/2} = 0[/mm]
>
> Sei nun [mm]f \in C\left[a,b\right][/mm] so, dass f nicht die
> Nullfunktion ist.
> [mm]||f||_2 = \left(\integral_{a}^{b} |f(x)|^2 \ dx\right)^{1/2} = \dots[/mm]
>
> Wie kann ich hier zeigen, dass das Integral [mm]> 0[/mm] ist? Wenn f
> nicht die Nullfunktion ist, so gibt es mindestens ein [mm]x \in \left[a,b\right][/mm]
> mit [mm]f(x) \not= 0[/mm]. Ich habe jedoch noch keine Idee, wie ich
> das hier verwerten könnte.
Bedenke, dass f stetig ist. Eine Funktion, die nur an einem Punkt [mm]x \in \left[a,b\right][/mm] von 0 verschieden ist, kann nicht stetig sein.
>
> 2. Nachweis der Homogenität
> Sei [mm]f \in C\left[a,b\right][/mm] stetige Funktion und [mm]\lambda \in \IC[/mm].
>
> Dann: [mm]||\lambda \cdot f||_2 = \left(\integral_{a}^{b} |\lambda \cdot f(x)|^2 \ dx\right)^{1/2} = \left(\integral_{a}^{b} |\lambda|^2 \cdot |f(x)|^2 \ dx\right)^{1/2} = \left(|\lambda|^2 \ \integral_{a}^{b} \cdot |f(x)|^2 \ dx\right)^{1/2} = |\lambda| \cdot \left(\ \integral_{a}^{b} \cdot |f(x)|^2 \ dx\right)^{1/2} = |\lambda| \cdot ||f||_2[/mm]
>
> 2. Dreiecksungleichung
> Seien [mm]f, g \in C\left[a,b\right][/mm].
> [mm]||f+g||_2 = \left(\integral_{a}^{b} |f(x) + g(x)|^2 \ dx\right)^{1/2} \le \left(\integral_{a}^{b} |f(x)|^2 \ dx\right)^{1/2} + \left(\integral_{a}^{b} |g(x)|^2 \ dx\right)^{1/2} = ||f||_2 + ||g||_2[/mm]
>
> Dabei ergibt sich die Abschätzung aus der
> Minkowski-Ungleichung für Integrale.
>
> Ist das soweit richtig oder absoluter Blödsinn?
Soweit ok, sofern du die Minkowski-Ungleichung voraussetzen darfst und nicht selber nachweisen musst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mi 28.04.2010 | | Autor: | jboss |
Hallo Rainer,
> > Sei nun [mm]f \in C\left[a,b\right][/mm] so, dass f nicht die
> > Nullfunktion ist.
> > [mm]||f||_2 = \left(\integral_{a}^{b} |f(x)|^2 \ dx\right)^{1/2} = \dots[/mm]
>
> >
> > Wie kann ich hier zeigen, dass das Integral [mm]> 0[/mm] ist? Wenn f
> > nicht die Nullfunktion ist, so gibt es mindestens ein [mm]x \in \left[a,b\right][/mm]
> > mit [mm]f(x) \not= 0[/mm]. Ich habe jedoch noch keine Idee, wie ich
> > das hier verwerten könnte.
>
> Bedenke, dass f stetig ist. Eine Funktion, die nur an einem
> Punkt [mm]x \in \left[a,b\right][/mm] von 0 verschieden ist, kann
> nicht stetig sein.
Ah, ok. Ja klar Jetzt muss ich das nur noch irgendwie in eine schöne mathematische Aussage verpacken. Hmm, ich versuche es mal.
Also, wenn eine stetige Fkt. nicht die Nullfunktion ist, ist diese in einer [mm] $\epsilon-\delta$-Umgebung [/mm] von Punkten $x [mm] \in \left[a,b\right]$ [/mm] mit $f(x) [mm] \not= [/mm] 0$ ebenfalls ungleich 0 ist und damit gilt dann auch für das Integral: [mm] $\integral_{x-\delta}^{x+\delta} [/mm] |f(x)| \ dx [mm] \not= [/mm] 0$
Ist diese Argumentation ausreichend?
Wahrscheinlich gibt es da einen tollen Satz aus Analysis 1 der mir gerade nicht einfallen will
Gruss
jboss
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:07 Do 29.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> > > Sei nun [mm]f \in C\left[a,b\right][/mm] so, dass f nicht die
> > > Nullfunktion ist.
> > > [mm]||f||_2 = \left(\integral_{a}^{b} |f(x)|^2 \ dx\right)^{1/2} = \dots[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wie kann ich hier zeigen, dass das Integral [mm]> 0[/mm] ist? Wenn f
> > > nicht die Nullfunktion ist, so gibt es mindestens ein [mm]x \in \left[a,b\right][/mm]
> > > mit [mm]f(x) \not= 0[/mm]. Ich habe jedoch noch keine Idee, wie ich
> > > das hier verwerten könnte.
> >
> > Bedenke, dass f stetig ist. Eine Funktion, die nur an einem
> > Punkt [mm]x \in \left[a,b\right][/mm] von 0 verschieden ist, kann
> > nicht stetig sein.
>
> Ah, ok. Ja klar Jetzt muss ich das nur noch irgendwie
> in eine schöne mathematische Aussage verpacken. Hmm, ich
> versuche es mal.
>
> Also, wenn eine stetige Fkt. nicht die Nullfunktion ist,
> ist diese in einer [mm]\epsilon-\delta[/mm]-Umgebung von Punkten [mm]x \in \left[a,b\right][/mm]
> mit [mm]f(x) \not= 0[/mm] ebenfalls ungleich 0 ist und damit gilt
> dann auch für das Integral:
> [mm]\integral_{x-\delta}^{x+\delta} |f(x)| \ dx \not= 0[/mm]
Im Prinzip ja. Aber etwas genauer musst du formulieren, dass $f(x)$ nicht nur [mm] $\not=0$ [/mm] ist, sondern sogar größer als eine feste Zahl $>0$:
Sei also für ein [mm] $x_0\in[a,b]$ $f(x_0) [/mm] = a > 0$. Da f stetig ist, gibt es zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\delta>0$, [/mm] sodass für [mm] $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ [/mm] gilt, dass
[mm] |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon \gdw a-\varepsilon < f(x) < a+\varepsilon [/mm] .
Wenn ich nun irgendein [mm] $\varepsilon [/mm] < a$ wähle, ist
[mm]\integral_{x-\delta}^{x+\delta} |f(x)| dx > 2\delta (a-\varepsilon) > 0 [/mm]
bzw. im Fall der [mm] $\|\cdot\|_2$-Norm:
[/mm]
[mm]\integral_{x-\delta}^{x+\delta} |f(x)|^2 dx > 2\delta (a-\varepsilon)^2 > 0 [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Mo 03.05.2010 | | Autor: | jboss |
Hallo,
vielen Dank für deine Hilfe.
Gruss
Jakob
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