Norm Konvergenz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:02 So 12.05.2013 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | Auf [mm] \ell^\infty [/mm] haben wir die Supremumsnorm
[mm] ||x||_\infty:=sup\{|x_i|: i\in \IN\}
[/mm]
Zusätzlich definieren wir hier auf [mm] \ell^\infty [/mm] die Norm (?)
[mm] ||x||_\*:=sup\{|x_i|/i: i\in \IN\}
[/mm]
Beweisen oder wiederlegen Sie die folgende Behauptung:
a) [mm] ||x||_\* [/mm] ist eine Norm auf [mm] \ell^\infty
[/mm]
b) Jede bezüglich [mm] ||\cdot||_\infty [/mm] konvergente Folge konvergiert auch bezüglich [mm] ||\cdot||_\*
[/mm]
c) Jede bezüglich [mm] ||\cdot||_\* [/mm] konvergente Folge konvergiert auch bezüglich [mm] ||\cdot||_\infty [/mm] |
a) Hier hab ich keine Rückfragen. Zu zeigen dass [mm] ||x||_\* [/mm] eine Norm ist war relativ einfach.
b) Hier habe ich mir folgendes überlegt. Sei [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] eine bezüglich [mm] ||\cdot||_\infty [/mm] konvergente folge. Wegen der Normäquivalenz gibt es ein, C>0, sodass
[mm] ||a_n||_\* \le C\cdot||a_n||_\infty
[/mm]
gilt.
Da [mm] C\cdot||a_n||_\infty [/mm] konvergiert, konvergiert auch [mm] ||a_n||_\*.
[/mm]
Theoretisch müsste das doch ausreichen oder ?
mfg. Der Joker :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:13 So 12.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Joker08,
> Beweisen oder wiederlegen Sie die folgende Behauptung:
>
> a) [mm]||x||_\*[/mm] ist eine Norm auf [mm]\ell^\infty[/mm]
>
> b) Jede bezüglich [mm]||\cdot||_\infty[/mm] konvergente Folge
> konvergiert auch bezüglich [mm]||\cdot||_\*[/mm]
>
> c) Jede bezüglich [mm]||\cdot||_\*[/mm] konvergente Folge
> konvergiert auch bezüglich [mm]||\cdot||_\infty[/mm]
> a) Hier hab ich keine Rückfragen. Zu zeigen dass [mm]||x||_\*[/mm]
> eine Norm ist war relativ einfach.
Ist zwar keine große Sache, aber vergiss nicht zu zeigen, dass das Supremum endlich ist, also dass die Menge, über die das Supremum genommen wird, beschränkt ist.
> b) Hier habe ich mir folgendes überlegt. Sei [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm]
> eine bezüglich [mm]||\cdot||_\infty[/mm] konvergente folge.
> Wegen
> der Normäquivalenz gibt es ein, C>0, sodass
>
> [mm]||a_n||_\* \le C\cdot||a_n||_\infty[/mm]
>
> gilt.
Die beiden Normen sind nicht äquivalent!
Aber ein solches C existiert in der Tat, wie du zeigen kannst, indem du ein solches konkret angibst.
> Da [mm]C\cdot||a_n||_\infty[/mm] konvergiert, konvergiert auch
> [mm]||a_n||_\*.[/mm]
>
> Theoretisch müsste das doch ausreichen oder ?
Nein, die Konvergenz von [mm] $||a_n||_\*$ [/mm] reicht nicht aus, um die Konvergenz von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] bezüglich [mm] $||*||_\*$ [/mm] zu begründen.
Aber für jede Norm $||*||$ gilt: [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert bezüglich dieser Norm gegen $a$ genau dann, wenn
[mm] $\lim_{n\to\infty}||a_n-a||=0$
[/mm]
gilt.
Damit kannst du arbeiten und ähnlich argumentieren, wie du es getan hast.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 So 12.05.2013 | | Autor: | Joker08 |
> > b) Hier habe ich mir folgendes überlegt. Sei [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm]
> > eine bezüglich [mm]||\cdot||_\infty[/mm] konvergente folge.
> > Wegen
> > der Normäquivalenz gibt es ein, C>0, sodass
> >
> > [mm]||a_n||_\* \le C\cdot||a_n||_\infty[/mm]
> >
> > gilt.
> Die beiden Normen sind nicht äquivalent!
>
> Aber ein solches C existiert in der Tat, wie du zeigen
> kannst, indem du ein solches konkret angibst.
Okay. Genau das haben wir ein Übungsblatt zuvor noch gemacht :D
Aber ich dachte Normen auf dem [mm] R^n [/mm] wäre immer äquivalent, wenn ich ein c>0 finden kann, sodass z.B. [mm] ||x||_q \le [/mm] c [mm] ||x||_p [/mm] gilt.
In diesem Fall, reicht ein [mm] C\ge [/mm] 1
> > Da [mm]C\cdot||a_n||_\infty[/mm] konvergiert, konvergiert auch
> > [mm]||a_n||_\*.[/mm]
> >
> > Theoretisch müsste das doch ausreichen oder ?
> Nein, die Konvergenz von [mm]||a_n||_\*[/mm] reicht nicht aus, um
> die Konvergenz von [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] bezüglich [mm]||*||_\*[/mm] zu
> begründen.
>
> Aber für jede Norm [mm]||*||[/mm] gilt: [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] konvergiert
> bezüglich dieser Norm gegen [mm]a[/mm] genau dann, wenn
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}||a_n-a||=0[/mm]
>
> gilt.
>
> Damit kannst du arbeiten und ähnlich argumentieren, wie du
> es getan hast.
Okay [mm] (a_n)_{n\in \IN} [/mm] konvergiert bezüglich [mm] ||*||_\*, [/mm] genau dann wenn:
[mm] \lim_{n\to\infty}||a_n-a||_\*=0
[/mm]
gilt.
Nach vorraussetzung gilt [mm] \lim_{n\to\infty}||a_n-a||_\infty=0
[/mm]
Da ich bereits zuvor gezeigt habe (das spar ich mir an dieser Stelle einfach mal), dass es ein C>0 gibt, sodass
[mm] ||*||_\* \le C\cdot ||*||_\infty
[/mm]
gilt, ist:
[mm] \lim_{n\to\infty}||a_n-a||_\* \le [/mm] C [mm] \cdot \lim_{n\to\infty}||a_n-a||_\infty [/mm] = 0
woraus dann die behauptung folgt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 So 12.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > > Wegen
> > > der Normäquivalenz gibt es ein, C>0, sodass
> > >
> > > [mm]||a_n||_\* \le C\cdot||a_n||_\infty[/mm]
> > >
> > > gilt.
> > Die beiden Normen sind nicht äquivalent!
> >
> > Aber ein solches C existiert in der Tat, wie du zeigen
> > kannst, indem du ein solches konkret angibst.
>
> Okay. Genau das haben wir ein Übungsblatt zuvor noch
> gemacht :D
> Aber ich dachte Normen auf dem [mm]R^n[/mm] wäre immer
> äquivalent, wenn ich ein c>0 finden kann, sodass z.B.
> [mm]||x||_q \le[/mm] c [mm]||x||_p[/mm] gilt.
Normen [mm] $||*||_p$ [/mm] und [mm] $||*||_q$ [/mm] auf dem gleichen Vektorraum heißen äquivalent, falls sowohl ein c>0 mit
[mm] $||*||_q\le c*||*||_p$, [/mm] als auch ein $C>0$ mit [mm] $||*||_p\le C*||*||_q$ [/mm] existieren.
Je zwei Normen auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] sind äquivalent. Im Allgemeinen müssen Normen auf dem gleichen Vektorraum natürlich nicht äquivalent sein.
> In diesem Fall, reicht ein [mm]C\ge[/mm] 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Okay [mm](a_n)_{n\in \IN}[/mm] konvergiert bezüglich [mm]||*||_\*,[/mm]
> genau dann wenn:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}||a_n-a||_\*=0[/mm]
>
> gilt.
(Genauer: Wenn ein $a$ existiert mit dieser Eigenschaft.)
> Nach vorraussetzung gilt
> [mm]\lim_{n\to\infty}||a_n-a||_\infty=0[/mm]
> Da ich bereits zuvor gezeigt habe (das spar ich mir an
> dieser Stelle einfach mal), dass es ein C>0 gibt, sodass
>
> [mm]||*||_\* \le C\cdot ||*||_\infty[/mm]
>
> gilt, ist:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}||a_n-a||_\* \le[/mm] C [mm]\cdot \lim_{n\to\infty}||a_n-a||_\infty[/mm]
> = 0
>
> woraus dann die behauptung folgt.
Ja, nach "Sandwich-Lemma" folgt aus [mm] $0\le ||a_n-a||_\*\le||a_n-a||_\infty$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und der Konvergenz von [mm] $||a_n-a||_\infty$ [/mm] gegen 0, dass auch [mm] $||a_n-a||_\*$ [/mm] gegen 0 konvergiert.
(Mit "Sandwich-Lemma" meine ich folgende Aussage:
Seien [mm] $(b_n)_{n\in\IN},(c_n)_{n\in\IN},(d_n)_{n\in\IN}$ [/mm] Folgen reeller Zahlen mit [mm] $b_n\le c_n\le d_n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$. [/mm] Konvergieren dann [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(d_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen den gleichen Grenzwert, so konvergiert auch [mm] $(c_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen diesen Grenzwert.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 So 12.05.2013 | | Autor: | Joker08 |
> > > > Wegen
> > > > der Normäquivalenz gibt es ein, C>0, sodass
> > > >
> > > > [mm]||a_n||_\* \le C\cdot||a_n||_\infty[/mm]
> > > >
> > > > gilt.
> > > Die beiden Normen sind nicht äquivalent!
> > >
> > > Aber ein solches C existiert in der Tat, wie du zeigen
> > > kannst, indem du ein solches konkret angibst.
> >
> > Okay. Genau das haben wir ein Übungsblatt zuvor noch
> > gemacht :D
> > Aber ich dachte Normen auf dem [mm]R^n[/mm] wäre immer
> > äquivalent, wenn ich ein c>0 finden kann, sodass z.B.
> > [mm]||x||_q \le[/mm] c [mm]||x||_p[/mm] gilt.
> Normen [mm]||*||_p[/mm] und [mm]||*||_q[/mm] auf dem gleichen Vektorraum
> heißen äquivalent, falls sowohl ein c>0 mit
> [mm]||*||_q\le c*||*||_p[/mm], als auch ein [mm]C>0[/mm] mit [mm]||*||_p\le C*||*||_q[/mm]
> existieren.
>
> Je zwei Normen auf dem [mm]\IR^n[/mm] sind äquivalent. Im
> Allgemeinen müssen Normen auf dem gleichen Vektorraum
> natürlich nicht äquivalent sein.
>
> > In diesem Fall, reicht ein [mm]C\ge[/mm] 1
>
>
>
> > Okay [mm](a_n)_{n\in \IN}[/mm] konvergiert bezüglich [mm]||*||_\*,[/mm]
> > genau dann wenn:
> >
> > [mm]\lim_{n\to\infty}||a_n-a||_\*=0[/mm]
> >
> > gilt.
> (Genauer: Wenn ein [mm]a[/mm] existiert mit dieser Eigenschaft.)
>
> > Nach vorraussetzung gilt
> > [mm]\lim_{n\to\infty}||a_n-a||_\infty=0[/mm]
> > Da ich bereits zuvor gezeigt habe (das spar ich mir an
> > dieser Stelle einfach mal), dass es ein C>0 gibt, sodass
> >
> > [mm]||*||_\* \le C\cdot ||*||_\infty[/mm]
> >
> > gilt, ist:
> >
> > [mm]\lim_{n\to\infty}||a_n-a||_\* \le[/mm] C [mm]\cdot \lim_{n\to\infty}||a_n-a||_\infty[/mm]
> > = 0
> >
> > woraus dann die behauptung folgt.
> Ja, nach "Sandwich-Lemma" folgt aus [mm]0\le ||a_n-a||_\*\le||a_n-a||_\infty[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN[/mm] und der Konvergenz von [mm]||a_n-a||_\infty[/mm]
> gegen 0, dass auch [mm]||a_n-a||_\*[/mm] gegen 0 konvergiert.
>
> (Mit "Sandwich-Lemma" meine ich folgende Aussage:
>
> Seien [mm](b_n)_{n\in\IN},(c_n)_{n\in\IN},(d_n)_{n\in\IN}[/mm]
> Folgen reeller Zahlen mit [mm]b_n\le c_n\le d_n[/mm] für alle
> [mm]n\in\IN[/mm]. Konvergieren dann [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] und
> [mm](d_n)_{n\in\IN}[/mm] gegen den gleichen Grenzwert, so
> konvergiert auch [mm](c_n)_{n\in\IN}[/mm] gegen diesen Grenzwert.)
Jup das wusste ich. Wir habens auch sandwitchsatz genannt :)
Vielen dank
mfg. Der Joker
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