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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Do 29.05.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Sei [mm] f:[a,b]\to \IR [/mm] eine stetige Funktion. Zeigen Sie:
(a) Ist f nicht die Nullfunktion, dann ist [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx} [/mm] > 0.
(b) Durch N(f) := [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx} [/mm] ist eine Norm auf der Menge aller auf [a,b] stetigen Funktionen gegeben. |
Hi!
Ich habe mal wieder eine Frage.
Ich habe Teilaufgabe (a) schon gezeigt. Mir ist nun nicht ganz klar,
was ich bei Teilaufgabe (b) zu tun habe.
Muss ich hier einfach die Normeigenschaften nachweise, wenn ja,
wie kann man das tun? Oder kann man das noch irgendwie anders zeigen?
Ich hoffe, ihr könnt mir mal wieder ein paar hilfreiche Tipps/Hinweise geben!
Ich sage schon mal danke und viele Grüße, Petrit!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Do 29.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:[a,b]\to \IR[/mm] eine stetige Funktion. Zeigen Sie:
>
> (a) Ist f nicht die Nullfunktion, dann ist
> [mm]\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}[/mm] > 0.
> (b) Durch N(f) := [mm]\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}[/mm] ist eine
> Norm auf der Menge aller auf [a,b] stetigen Funktionen
> gegeben.
> Hi!
>
> Ich habe mal wieder eine Frage.
> Ich habe Teilaufgabe (a) schon gezeigt. Mir ist nun nicht
> ganz klar,
> was ich bei Teilaufgabe (b) zu tun habe.
> Muss ich hier einfach die Normeigenschaften nachweise,
Klar, was sonst ?
> wenn ja,
> wie kann man das tun? Oder kann man das noch irgendwie
> anders zeigen?
Ganz geradeaus:
1. Zeige: $ [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}=0 [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] f ist die Nullfunktion.
( a) könnte ein ganz klein wenig helfen.)
2. Zeige für s [mm] \in \IR: [/mm] $ [mm] \integral_{a}^{b}{|(sf)(x)| dx} [/mm] $=$ [mm] |s|\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx} [/mm] $
3. Zeige :
$ [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)+g(x)| dx} $\le [/mm] $ [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx} [/mm] $+$ [mm] \integral_{a}^{b}{|g(x)| dx} [/mm] $
Petri heil
FRED
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> Ich hoffe, ihr könnt mir mal wieder ein paar hilfreiche
> Tipps/Hinweise geben!
>
> Ich sage schon mal danke und viele Grüße, Petrit!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Do 29.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Super, vielen Dank!
War mir nicht ganz sicher!
Gruß Petrit!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Do 29.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi!
Ich habe dann doch nochmal eine Frage.
Und zwar bei der 2. Eigenschaft müsste das nicht [mm] \integral_{a}^{b}{|(f)(sx)| dx} [/mm] = [mm] |s|\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}? [/mm] Sonst wäre sf ja eine Komposition von Funktionen!
Gruß, Petrit!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Do 29.05.2014 | | Autor: | hippias |
Nein. Normen sind auf Vektorraeumen definiert, dabei ist $s$ ein Element des Skalarkoerpers und $f$ ein Element des Vektorraumes. Die Skalarmultiplikation in deinem Raum ist so definiert, wie Fred97 geschrieben hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Do 29.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Alles klar, danke für die Antwort!
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