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Hallo zusammen, hab noch ein Problem!!
Wäre echt super, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
||f||p Das soll die p-Norm von f sein. Ich lasse das p hier immer weg, wäre unübersichtlich.
Sie ist so definiert: ||f||= [mm] \{ \bruch{1}{ \wurzel{2\pi}}* \integral_{-\infty}^{\infty} { |f(x) |^{p} dx}\}^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
Nun sei g(y)= | | f(x-y)-f(x) | [mm] |^{p} [/mm] Hier wieder p-Norm.Aber das ganze noch hoch p.
Eigentlich ohne x-y und x.
Nun soll gezeigt werden, dass g beschränkt ist.
Lösungsansatz:
Nach unten ist es beschränkt da die Wurzel nur für positive definiert ist.
Aber nach oben?
Kann ich da irgendwie mit dem Bruch vorne argumentieren, dass dieser immer kleiner 1 und deshalb die Wurzel irgendwie beschränkt ist?
Oder kann man über Normen irgendwelche Allgemeinen Aussagen machen?
Bin über jede Hilfe dankbar...
Gruß Flotsch
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Hallo Stefan,
vielen Dank erstmal für deine Mühen.
Deine Antwort ist völlig korrekt, nur ich blicks nicht ganz!!
Für mich ist es nicht so trivial.
Das mit der Dreiecksungleichung ist kein Problem.
Ist die Translationsinvarianz so beschrieben, wie du es gezeigt hast?
Warum folgt daraus, dass es beschränkt ist?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Do 02.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Flotsch!
Die Translationsinvarianz bedeutet (naiv gesagt, aber das genügt hier):
[mm] $\int\limits_{- \infty}^{\infty} f(x-y)\, [/mm] dx = [mm] \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\, [/mm] dx$.
Zur Beschränktheit:
Wir hatten ja gezeigt:
$0 [mm] \le [/mm] g(y) [mm] \le \left(2 \Vert f \Vert_p\right)^p [/mm] = [mm] 2^p \cdot \Vert [/mm] f [mm] \Vert_p^p$.
[/mm]
Beide Seiten sind von $y$ unabhängig und endlich. Daher ist $g$ beschränkt.
Ist es jetzt klar?
Viele Grüße
Stefan
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